Всем привет! Прошла питерская младших классов, разбирать мы ее будем чуть позже, а пока продолжим работать над задачами регионального этапа. Сегодня разбираем стереометрию из 11-го класса. Напоминаю, что следить за публикациями также можно на телеграм-канале Олимпиадная геометрия.
Условие задачи было такое.
Ключевым моментом в задаче служит следующее наблюдение. Если взять треугольник с вершинами в центрах сфер, то точки A, B и C касания сфер являются по совместительству точками касания со сторонами вписанной в этот треугольник окружности. То есть описанная окружность треугольника ABC лежит целиком внутри треугольника с вершинами в центрах сфер.
Если теперь спроецировать эту конструкцию на касательную плоскость, то получим, что проекция описанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника DEF. Но проекция окружности это эллипс (вписанный в треугольник DEF), большая из полуосей которого совпадает с радиусом описанной окружности ABC. Значит диаметр окружности, описанной около треугольника ABC можно целиком разместить внутри треугольника DEF и, тем самым, он не превосходит диаметра окружности, описанной около треугольника DEF.