ММО-2019. 11 класс, день 2. Неинтерполяционный многочлен

Докажите, что для любого натурального числа n⩾2 и для любых действительных чисел a[1], a[2], …,a[n], удовлетворяющих условию
a[1]+a[2]+…+a[n]≠0, уравнение
a[1](x−a[2])(x−a[3])…(x−a[n])+a[2](x−a[1])(x−a[3])…(x−a[n])+…+a[n](x−a[1])(x−a[2])…(x−a[n−1])=0
имеет хотя бы один действительный корень.

По структуре многочлена из левой части уравнения кажется, что в задаче где-то "зарыт" интерполяционный многочлен Лагранжа. Но будем проще!

Пусть a[1]<=a[2]<=...<=a[n-1]<=a[n].
Рассмотрим функцию f(x)= a[1](x−a[2])(x−a[3])…(x−a[n])+a[2](x−a[1])(x−a[3])…(x−a[n])+…+a[n](x−a[1])(x−a[2])…(x−a[n−1]).

Если для какого-то a[k]=a[k+1], то они и будут корнями, потому что в каждом слагаемом есть либо x-a[k], либо x-a[k+1], либо и то, и то.

Поэтому будем считать, что все a[k] различны.
Подставим в левую часть x=a[n]:
f(a[n])= a[n](a[n]−a[1])(a[n]−a[2])…(a[n]−a[n−1]) >0.
Теперь подставим x=a[n-1]:
f(a[n-1])= a[n-1](a[n-1]−a[1])(a[n-1]−a[2])…(a[n-1]−a[n]).
Если a[n-1]>0, то f(a[n-1])<0. А раз есть у многочлена значения, где принимают и положительное, и отрицательное значение, то где-то между ними есть корень.

Поэтому будем считать, что a[n-1]<0 (в этом случае f(a[n-1]>0)). Но тогда и a[n-2]<0. И при этом
f(a[n-2])= a[n-2](a[n-2]−a[1])(a[n-2]−a[2])...(a[n-2]-a[n]).
Среди скобок ровно две отрицательные, поэтому f(a[n-2])<0. И, опять применяя теорему Коши о промежуточном значении непрерывной функции, делаем вывод, что между a[n-2] и a[n-1] есть корень.