Функция f(x), заданная на всей числовой оси, при всех действительных x и y удовлетворяет равенству f(x)f(y)=f(x−y). Известно, что f(1/2)=1. Чему равно f(2020)?
Задача была предложена на заключительном этапе Межрегиональной предметной олимпиады Казанского федерального университета, 2019-2020 учебный год.
Сначала изложу неправильное рассуждение, чтобы понять, какая самая распространённая ошибка.
Положим y=x. Получим
(f(x))^2=f(0).
Значит, квадрат функции - постоянная. Следовательно, и сама функция постоянная. А раз f(1/2)=1, то функция тождественно равна 1. Т.е. и f(2020)=1.
В чём же здесь ошибка? Никто нам не обещал, что функция непрерывна.
Значит, (если f(0)>0) функция в разных точках может принимать значения sqrt(f(0)) и -sqrt(f(0)). И в каких точках какие значения она принимает a priori неизвестно. (Здесь sqrt(z) означает квадратный корень из z.)
Теперь всё-таки изложу и правильное решение.
Подставим x=1, y=1/2.
Получим f(1)f(1/2)=f(1/2).
Так как f(1/2)=1, можем сократить на f(1/2) и получить f(1)=1.
Далее подставим y=1. Получим
f(x)f(1)=f(x-1).
Принимая во внимание то, что f(1)=1, имеем
f(x)=f(x-1),
т.е.
f(2020)=f(2019)=f(2018)=...=f(2)=f(1)=1.
Мы нашли значение в точке, даже в большом числе точек, но не решили уравнение.
Вдруг есть решения, которые не тождественно равны единице?
Но это тема уже другого текста...