Делимость на 12

В Татьянин день, 25 января, в Москве прошла традиционная математическая регата 8 классов. Регата 8-классников состоит из четырёх туров, в каждом из которых командам предлагаются задачи по алгебре, по геометрии и по комбинаторике.

Задача 2.3 и задача 3.3 уже были мной разобраны.

Задача 1.3. На какую цифру нужно заменить * так, чтобы разность
98765–4321* была кратна 12?

Чтобы число делилось на 12=3*4 необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на его взаимно простые сомножители 3 и 4.

Вспомним признак делимости на 3. Сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 3, что и само число.

Сумма цифр числа 98765 равна 35, т.е. имеет остаток 2 при делении на 3.
Сумма цифр числа 4321a равна (10+a), т.е. имеет такой же остаток, что и (a+1) при делении на 3.

Их разность имеет остаток 2-(a+1)=1-a при делении на 3. Таким образом, чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы a было равно 1, или 4, или 7.

Теперь рассмотрим делимость на 4, вспомнив предварительно, что число имеет такой же остаток при делении на 4, что и число, составленное и из двух последних его цифр.

Число 98765 имеет такой же остаток при делении на 4, что и 65, т.е. 1.
Число 4321a имеет такой же остаток при делении на 4, что и 1a, т.е. (a+2).
Их разность 1-(a+2) кратна 4 тогда и только тогда, когда выражение (3-a) кратно 4, т.е. необходимо, чтобы a было равно 3 или 7.

Мы видим, что разность из условия одновременно делится на 3 и 4 только при a=7.