Про функции s(x) и t(x) известно, что s(0) = t(0) > 0 и s'(x)*sqrt(t'(x))=5 для любого x ∈ [0; 1]. Докажите, что если x ∈ [0; 1], то 2s(x) + 5t(x) > 15x.
(Здесь sqrt(z) означает квадратный корень из z, а штрих - знак производной.)
Задача была предложена 2 февраля 2020 года на Объединённое межвузовской математической олимпиаде.
Для начала заметим, что если
y(0)>0 и y'(x)>=a, то y(x)>=ax+y(0)>ax.
Это утверждение можно вывести, например, из определения производной.
Из условия s'(x)*sqrt(t'(x))=5 заметим, что s'(x) и t'(x) положительны на отрезке [0,1]. Следовательно, можем для них применить неравенство Коши (для трёх слагаемых):
(s'(x)+s'(x)+5t'(x))^3>=27 (s'(x))^2*5t'(x)=27*125.
Отсюда получаем, что
2s'(x)+5t'(x)>=15.
Так как 2s(0)+5t(0)>0, то 2s(x)+5t(x)>15x.