Выпал мне в ленте любопытный пример "на скорость".
Сам-то я люблю хитрые способы вычислений изобретать, поэтому решил подумать, как можно было бы решить пример быстро. Пример вот такой:
Конечно, можно вычислить по порядку, но легче разложить числитель и знаменатель на множители, короче, так:
И тем не менее, кроме этих двух "школьных", можно предложить ещё как минимум один способ ускорения вычислений.
Гораздо проще выполнять прямые вычисления в... пятиричной системе счисления:
Как видно, трудность при переводе в пятиричную систему счисления может вызвать только знаменатель дроби, но экспресс-методом, который я описывал в статье о переводах, это делается в уме.
Теперь вычисления выполняются "элементарно":
Обратный перевод тоже экспресс-методом, тоже в уме.
Профит
Казалось бы, зачем изобретать велосипед для такого "простого" примера? Этот приём даёт очень мощный инструмент работы со степенями. Если мы вспомним, то все формулы, относящиеся к свойствам степени, имеют умножения или деления между степенями:
А в самых хитрых примерах часто стоит сложение (как в числителе), поэтому, чтобы применить любую формулу, надо сначала раскладывать на множители. Перевод в другую систему счисления позволяет избавиться от возведения в степень вообще, хотя бы в тех случаях, когда все основания степеней одинаковы, а формулы (3) и (4) нельзя применить сходу из-за сложения или вычитания. Тут работает одна важная закономерность. Если основание системы счисления возвести в степень n, то в этой системе счисления запись будет выглядеть, как единица с n нулями:
Попробуйте решить пример "на скорость":
Конечно, тут в конце концов всё равно останется паршивенькое возведение в высокую степень, но оно будет единственным действием. Уж во всяком случае, фраза "упростить выражение" теперь может играть новыми красками.
Решение :
PS
Предвижу, что в комментариях опять будут писать, что старый добрый метод и проще и быстрее. Такая история была с русским крестьянским методом умножения, хоть я и доказал, что на больших числах он эффективнее классического столбика, и вдобавок, не требует знания таблицы умножения. Я не агитирую всех переходить на "мои" способы, тем более, что они вовсе не мои, а лишь мною кратко описаны.