Высшая проба. Сумма девятых и пятнадцатых степеней

Найдите все вещественные c, для которых сумма девятых степеней корней уравнения x^2-x+c=0, и сумма пятнадцатых степеней тоже равна нулю. Замечание: корни могут быть комплексными.

Эта задача была предложена 1 февраля 2020 года на втором этапе олимпиады "Высшая проба" по математике.

Заметим, что по теореме Виета
a+b=1;
ab=c;
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1-3c;

Теперь чуть более сложные выкладки
a^15+b^15=(a^9+b^9)(a^6+b^6)-a^6b^6(a^3+b^3)=0-с^6(1-3c)=-c^6(1-3c).

Значит, сумма девятых и пятнадцатых степеней одновременно равны нулю, если c=0 или c=1/3. Но если c=0, то корни исходного уравнения равны 0 и 1, и сумма их пятнадцатых степеней равна 0^15+1^15=1.

Остаётся предположить, что c=1/3. Проверим, что при таком c сумма девятых степеней тоже равна нулю.
Действительно, при c=1/3
a^9+b^9=(a^3+b^3)(a^6-a^3b^3+b^6)=(1-3c)(a^6-a^3b^3+b^6)=0.