Вася хочет написать на доске несколько последовательных семизначных чисел, каждое из которых делится на произведение своих цифр. Какое наибольшее количество таких чисел он сможет написать? Напоминаем, что на нуль делить нельзя.
Эта задача была предложена на Зимнем туре Турнира Архимеда, прошедшем 19 января 2020 года. Ранее я уже писал про задачу на логику из этой же олимпиады.
Официальное решение основано на применении делимости на 4. Ниже я приведу другое решение.
Пусть числа n и (n+1) делятся на число d. Тогда их разность 1=(n+1)-n тоже делится на d. Это означает, что все цифры, кроме последней в числах Васи должны быть единицами.
Заметим также, что числа 1111114 и 1111118 не делятся на 4 и 8 соответственно. Значит, больше трёх последовательных чисел написать не удастся.
А примеры для трёх чисел есть.
Первый - 1111111, 1111112, 1111113.
Второй - 1111115, 1111116, 1111117.
Несложно убедиться, что оба они подходят.