В Татьянин день, 25 января, в Москве прошла традиционная математическая регата 8 классов. Регата 8-классников состоит из четырёх туров, в каждом из которых командам предлагаются задачи по алгебре, по геометрии и по комбинаторике.
Задача 3.3 уже была разобрана.
А задача 2.3. (2 тур, комбинаторика) выглядела так.
В десяти лунках, расположенных по кругу, лежат 55 камней. В любых двух лунках разное количество камней и пустых лунок нет. Докажите, что найдутся три лунки, стоящие подряд, в которых в сумме меньше, чем 16 камней.
Заметим, что в лунках лежат 1, 2, 3, ..., 9, 10 камней соответственно, потому что сумма 1+2+3+...+9+10 как раз равна 55.
Рассмотрим те лунки, в которых лежит меньше 10 камней. Они делятся на три группы по три лунки подряд. Если в каждой лежит хотя бы по 16 камней, то всего в десяти лунках лежит не меньше 16*3+10=58 камней. Но у нас их всего 55.
При разборе этой задачи возник вопрос, можно ли число 16 в условии задачи заменить на число 15? Оставляю ответ на этот вопрос читателям.