Рациональные неравенства с модулем. Часть первая
Вспомним определение и основные свойства модуля.
Модулем числа называется неотрицательная величина, равная расстоянию на числовой оси между нулем и данным числом.
Для положительного числа х его модуль всегда равен этому числу: |х|=х , для отрицательного числа модуль равен данному числу с обратным знаком: |х|=-х. Модуль нуля равен нулю.
Часто уравнения с модулями решаются с помощью определения. При этом рассматриваются два случая, когда выражение под знаком модуля положительно или отрицательно. Такой метод решения не всегда удобен, особенно если в уравнении несколько выражений с модулями.
При решении уравнений мы будем пользоваться свойствами модулей, некоторые их которых приведены на рисунке
Обратим внимание, что уравнение, обе части которого положительны, можно возвести в квадрат, и это будет равносильное преобразование. При возведении в квадрат мы избавляемся от модуля, после чего составляем разность квадратов и раскладываем ее на множители.
Рассмотрим несколько примеров.
_______________________________________________________________________________
Пример 1. В уравнении два выражения под знаком модуля. Но у нас нет необходимости рассматривать различные интервалы изменения переменной x. Заметим, что каждая из дробей может принимать только два значения, плюс или минус единица.
При этом мы можем получить в сумме (-2) только при сложении двух (-1).
Поэтому уравнение превращается в систему неравенств, оба выражения под модулем должны быть отрицательными. В результате получаем, что переменная должна меньше (-4), т.е. решением уравнения является интервал, не ограниченный слева.
__________________________________________________________________________________
Пример 2. В этом случае сделаем замену переменной, уравнение упростится, останется один модуль. Возводим новое уравнение в квадрат, составляем разность квадратов и раскладываем ее на множители.
Решаем уравнение относительно y с учетом того, что эта переменная неотрицательна. Далее легко находим x. Всего 4 решения.
_____________________________________________________________________________
Пример 3. Данное уравнение упрощается путем несложного анализа.
Заметим, что правая часть положительна при любом х, т.к. дискриминант этого выражения отрицателен.
Далее воспользуемся тем свойством, что |x|=|-x|, что позволит нам избавиться от одного модуля, раскрыв который, мы после преобразований приходим к выражению вида |t|=-t, которое справедливо для неположительного t.
Решением уравнения является интервал, аналогично примеру 1.
_________________________________________________________________________________
Пример 4. В данном уравнении обратим внимание, что если бы мы убрали модули, то в левой и правой частях стояли бы одинаковые выражения.
Введем две новые переменные. Получаем, что сумма модулей двух чисел равна сумме этих чисел. Это условие выполняется только в том случае, когда оба числа неотрицательны. Данное утверждение можно доказать возведением всего равенства в квадрат, это возможно для неотрицательной суммы двух чисел. Если сумма отрицательна, то уравнение не имеет решений. Далее мы получаем, что произведение данных чисел также неотрицательно, значит, они одного знака. При неотрицательной сумме это возможно только, когда оба числа неотрицательны.
Дальнейшее решение сводится к решению системы неравенств, оставим это действие для самостоятельной работы читателей.
_______________________________________________________________________
Продолжение следует... Мы рассмотрим еще несколько рациональных уравнений с модулями.
Предыдущий выпуск по теме "Уравнения"