Шахматную доску разбили на двухклеточные доминошки, после чего конь обошел все клетки доски, побывав в каждой ровно по разу. Назовем весом доминошки количество ходов, которое сделал конь между ее клетками. Могут ли веса всех доминошек оказаться попарно равными?
Задача была предложена на 20 Турнире имени Савина. Это турнир математических боёв для школьников 6-8 классов, который последние много лет проводится в конце июня-начале июля в Костромской области.
Пронумеруем все клетки доски в порядке обхода конём. Будем обозначать доминошку парой чисел, которые стоят в её клетках. Предположим, что веса всех доминошек равны k. Тогда есть доминошки (1, k + 1), (2, k + 2), …, (k, 2k). После этого идут доминошки (2k + 1, 3k + 1), (2k + 2, 3k + 2), …, (3k, 4k) и т.д. Таким образом, все доминошки разбиваются на группы по k доминошек.
Следовательно, общее количество клеток, равное 64, кратно k. Так как 64 – степень двойки, то k – тоже степень двойки, то есть либо равно 1, либо чётно.
Но вес каждой доминошки больше 1 и нечётен, поскольку цвета клеток доминошки различны. Противоречие.