Для того, чтобы решать задачи с помощью этих замечательных теорем нужно иметь представления о понятии синуса и косинуса. Можно почитать здесь, а потом вернуться.
А если вы уже понимаете, что через синусы и косинусы можно связать стороны и углы треугольника. Значит можно искать стороны треугольника, если знаем углы и сторону. Или искать углы треугольника, если знаем стороны.
Задачи такого плана называются "решение треугольника". Решить треугольник значит найти все его стороны и все углы.
Вот здесь нам как раз и помогут эти замечательные теоремы.
Рассмотрим произвольный треугольник
ТЕОРЕМА синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
В каких случаях решение задачи начинаем с этой теоремы:
1) когда известна одна сторона треугольника и два любых угла;
2) две стороны и угол лежащий против одной из сторон.
ТАК ЖЕ очень полезно при решении задач пользоваться табличными данными значения синусов для углов 30, 45 и 60 градусов. ОБЯЗАТЕЛЬНО ЗАПОМИНАЕМ!
Рассмотрим на примере как применять эту теорему при решении задач ОГЭ (пример из сборника 50 вариантов под ред. Ященко)
Итак, известны 2 стороны и угол между ними. Значит решение начинаем с теоремы синусов.
Угол А лежит против стороны ВС, угол В лежит против стороны АС:
Выразим из получившейся пропорции сторону АС (используйте правило "креста"):
Подставляем числовые значения. ВС известна из условия задачи. sin60 и sin45 табличные значения:
Остается только максимально упростить это выражение:
ОТВЕТ: АС=9
ТЕОРЕМА косинусов:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
Другими словами, если в условии даны две стороны (а и с) и угол между ними β , то напрямую по этой теореме можно записать квадрат стороны лежащей против этого угла.
Попробуйте самостоятельно записать теорему косинусов для стороны а (если известны с, b, α ) и стороны с (если известны a, b, γ ).
В каких случаях в первую очередь пользуемся теоремой косинусов при решении задач:
1) когда известны две стороны и угол между ними;
2) известны три стороны (ищем только углы!).
Рассмотрим пример задачи второго типа из того же сборника.
Это как раз та ситуация, когда знаем три стороны и нужно найти угол, вернее его косинус, а это даже проще.
Давайте запишем теорему косинусов для противолежащей стороны углу, косинус которого ищем:
Можно из этой формы записи выразить косинус угла. Но многим проще искать в числах. Поэтому подставим все известные стороны и упростим :
Теперь остается найти косинус угла АВС как неизвестный множитель, т.е. произведение (-45) разделим на известный множитель (-60)
Если этот небольшой разборчик помог вам немного понять смысл этих двух теорем, вы теперь сможете решить аналогичные задания, то поставьте лайк . Мне будет очень приятно. Буду благодарна за поддержку :)
Пишите в комментариях, какие темы вам были бы наиболее интересны. Обязательно их рассмотрим.
Всем спасибо.