Хотя деления в поле действительных чисел и не существует, но задачи на делимость все же имеют место быть. Следующая задача как раз из таких. Условие: Пусть каждое из натуральных чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Докажите, что число n делится на куб некоторого своего простого делителя. Решение: Предположим противное: число n делится ровно на вторую степень каждого своего простого делителя. Тогда n=k², где k — произведение всех простых делителей n. Следовательно, достаточно доказать, что n не может являться точным квадратом. Предположим противное: n=m², где m — натуральное. Если n четно, то n+2 также четно, и одно из них не делится на 4, что противоречит условию. Если n нечетно, то и m нечетно, m=2k-1. Тогда n+1=(2k-1)²+1=4(k²-k)+2 делится на 2, но не делится на 4, что опять противоречит условию. Таким образом n не может быть полным квадратом. Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!
Хотя деления в поле действительных чисел и не существует, но задачи на делимость все же имеют место быть. Следующая задача как раз из таких.
Условие:
Пусть каждое из натуральных чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Докажите, что число n делится на куб некоторого своего простого делителя.
Решение:
Предположим противное: число n делится ровно на вторую степень каждого своего простого делителя. Тогда n=k², где k — произведение всех простых делителей n. Следовательно, достаточно доказать, что n не может являться точным квадратом.
Предположим противное: n=m², где m — натуральное. Если n четно, то n+2 также четно, и одно из них не делится на 4, что противоречит условию. Если n нечетно, то и m нечетно, m=2k-1. Тогда n+1=(2k-1)²+1=4(k²-k)+2 делится на 2, но не делится на 4, что опять противоречит условию.
Таким образом n не может быть полным квадратом.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!