Всем привет! Сегодня разбираемся со второй из геометрических задач региональной олимпиады 9-го класса прошлого года — задачей 9.8. По задумке авторов она проще, чем задача 9.4, но я в этом не уверен. Для опытного олимпиадника задача 9.4 это применение очень стандартного факта, а задача 9.8 требует либо дополнительных построений, либо счетного решения. Конечно, задачу 9.8 спасает очень простая картинка и как следствие очень простое счетное решение, основанное на теореме косинусов. Мы остановимся на геометрических решениях с дополнительными построениях. Посмотрим откуда у них растут уши...
Итак, напомню условие.
Первое решение (хороший выбор доп. построения)
Как всегда в задачах со стандартными углами (30, 45, 60, 120 градусов...) дополнительное построение должно чаще всего быть на это завязано. С углом 60 градусов есть две естественных конструкции — равносторонний треугольник и прямоугольный треугольник (половинка равностороннего). Основное свойство последнего состоит в том, что гипотенуза в два раза длиннее одного из катетов. В нашей задаче отрезок CD в два раза длиннее AB, поэтому построить прямоугольный треугольник с гипотенузой CD и углом 60 градусов будет как раз очень кстати! Давайте опустим перпендикуляр DK на прямую BC и получим, что CK=AB.
В качестве дополнительного бонуса получим другой прямоугольный треугольник BDK, у которого отмечена середина гипотенузы. Это значит, что мы на верном пути — получили картинку с очень большим количеством информации. Теперь надо лишь довести решение до конца. Медиана MK прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы, поэтому MK=MB. И углы при основании равнобедренного треугольника MBK равны. Последнее очень важно: мы, наконец, можем использовать последнее неиспользованное условие в задаче — принадлежность точки M внешней биссектрисе. Заключаем, что внешние углы треугольников MKC и MBA при вершинах K и B равны, а учитывая равенства сторон, получаем и равенство самих треугольников, что приводит нас к требуемому в задаче заключению.
Второе решение (по пути упрощения картинки)
Кто-то скажет, что в задаче и так очень простая картинка, куда ее еще упрощать? Но это не совсем так. В задаче завязаны довольно жесткие условия — точка D определяется исходя из сразу трех условий, и если вы захотите нарисовать такую картинку в каком-нибудь геометрическом редакторе, то вам придется придумывать обходные способы.
В процессе решения геометрической задачи правильно производить такие действия, которые упрощают условие (уменьшают количество условий), не сильно усложняя картинку, либо упрощают картинку.
Давайте посмотрим на эту задачу под таким углом. В задаче есть три условия: один отрезок в два раза меньше другого, точка лежит на биссектрисе, угол равен 60 градусов. Тому как решить задачу, сосредоточившись на первом условии посвящено первое решение. Попробуем поработать с первыми двумя условиями.
Условие один отрезок в два раза больше другого намекает на то, что это условие требуется изобразить как-то на картинке (какой-то отрезок поделить пополам, какой-то удвоить и т.п.). В нашей задаче наличие середины M наводи на мысль о построении средней линии MN треугольника BCD, параллельной стороне CD. Ведь она как раз будет равна половине стороны CD. После этого можно будет вообще истребить точку D из условия, отметив, что угол MNB тоже равен 60 градусам.
Стала ли задача проще? На мой взгляд да. Всегда приятно, когда все условия задачи можно изобразить на картинке.
Следующее действие — как-то использовать внешнюю биссектрису. Желательно, чтобы соответствующее условие после этого перестало играть значимую роль. Биссектриса это всегда намек на симметрию. Давайте ее сделаем — изобразим точки N и C с другой стороны от прямой BM, отразим конструкцию относительно BM (новые точки, которые попадут на прямую AB назовем N' и C'). Раньше нам надо было доказывать, что MC=MA, а теперь, что MC'=MA, а условие с биссектрисой и вовсе исчезло.
Вот теперь осталась задача с очень простой картинкой. Есть равные отрезочки, угол 60 градусов и надо доказать равнобедренность. Это уже легко сделать достроив построив на отрезке N'M равносторонний треугольник.
Практически в любом из решений в любой момент можно уйти на счетное решение, а можно и сразу по задаче начать стрелять теоремой косинусов. Это хорошая задача для того, чтобы научиться...