Сегодня разбираем первую из двух геометрических задач регионального этапа прошлого года в 9-ом классе. Напоминаю условие.
В предыдущем посте я кратко обсудил одну очень важную конструкцию, связанную с ортоцентром. Она очень часто появляется в олимпиадных задачах в основном благодаря простоте и богатству картинки.
В этой задаче это можно использовать так. Окружности, описанные около треугольников HBC и ABC симметричны относительно стороны BC. И по условию окружности, описанная около треугольника HB1C1 тоже симметрична относительно BC. Поэтому достаточно проверять, что касаются окружности, описанные около треугольников HBC и HB1C1, но треугольники гомотетичны с центром в точке H, поэтому и окружности тоже гомотетичны и касаются в точке H.
Последнюю часть рассуждения легко провести и без гомотетии. Надо заметить, что углы HB1C1 и HBC равны из параллельности, поэтому касательная к окружности, описанной около треугольника HBC, в точке H является по совместительству и касательной к окружности, описанной около треугольника HB1C1.