Эти задачки объединяет то, что в группе "Незадача дня" для них нашли удивительно простые решения. Понять их легко, а вот догадаться до них -- трудно. Чтобы было интереснее, последняя задачка осталась без решения -- его еще надо найти.
Задача 1. Какой угол больше?
Есть, конечно, путь беспощадный -- привлечь тригонометрию. Дополнить углы до треугольников, да и найти все стороны по теореме Пифагора. Потом уж и теорему косинусов применять. Или через площади решать. Но уж больно муторно, так что эти решения я и записывать не буду.
Олег Есипов предложил сравнивать углы, вписав их в одну окружность. (Этот прием сравнения углов полезно запомнить и сложить в личную копилку полезных дополнительных построений).
Но оказывается, можно решить еще проще! Михаил Батов увидел, как дорисовать два прямоугольных треугольника. Можно пальцем посчитать клеточки и увидеть, что отношение катетов у обоих треугольников равно 3. Значит, треугольники подобны и углы у них одинаковые.
Задача 2. Найти сумму углов в лучиках звездочки
Звездочка не симметрична, и углы не одинаковые.
Можно ввести обозначения для этих углов, выделить кучу треугольников, и, следя за суммами углов треугольника, разобраться с углами в лучиках. Но этот путь муторный и беспощадный.
Сергей Соколин придумал неочевидное дополнительно построение, которое делает решение очевидным:
Продлим стороны всех семи лучиков "за пределы фигуры". Нарисуем достаточно большую окружность, содержащую звездочку. Посчитаем сумму углов, образованных парами пересекающихся хорд (как полусумму дуг, на которую опираются углы. ) И заметим, что все 14 дуг образуют полную окружность. Получаем ответ 180 градусов.
Задача 3. Пиво в холодильнике
Вчера в холодильнике у Пантелея было 4 банки темного пива и 3 банки светлого. Перфекционистская Пантелеева душа не смогла с этим смириться, и он принялся по одной наугад вынимать банки из холодильника. Без возвращения. Пока не остались банки только одного вида.
Какова вероятность того, что в холодильнике осталось только темное пиво?
Юрий Кулёв рассмотрел все способы вынимать пиво:
Представим последовательность выниманий как цепочку символов С и Т. Тогда цепочек кончающихся:
1) на СТ - 5!/2!3! = 10
2) на СТТ - 4!/2!2! = 6
3) на СТТТ - 3!/2!1! = 3
4) на СТТТТ - 2!/2!0! = 1
Итого - 20 "удачных случаев"
Всего случаев - 7!/4!3! = 35
Значит, вероятность 20/35 = 4/7
Но красивый ответ, который получается из данных задачи без сложных вычислений, наталкивает на мысль, что задачу можно решить и проще. И правда, Максим Иняков объяснил как: условия задачи означают, что последней должна остаться банка с тёмным пивом. Их 4, а всего банок 7. Значит, вероятность того, что последняя банка темная, равна 4/7.
Задача 4. Орлы!
Корней с Пантелеем бросали монетки. Корней бросил 2020 штук, а Пантелей — 2019 штук. Какова вероятность того, что у Корнея выпало орлов больше, чем у Пантелея?
Числа такие большие, что сосчитать все возможные комбинации вообще нереально.
Лёня Пантелеев придумал совсем простое решение:
У Корнея либо орлов больше, чем у Пантелея, либо решек, а вероятности этих событий равны
1:2=0.5.
Самое трудное здесь понять, почему обязательно чего-то одного (орлов или решек) больше. И правда, не может быть больше и того и другого (ведь у Корнея монеток больше всего на одну).
Задача 5.
Накатавшись на лыжах, Корней, Матвей, Пантелей, а также Еремей с Авдеем отдыхают — их всего пятеро в одной комнате.
Корней решает задачки.
Матвей играет в крестики-нолики.
Пантелей вяжет шарфик.
Еремей спит.
А что делает Авдей?