На Новый год Дед Мороз принес мне подарок — пластиковую сферу, которую удобно разобрать на две половинки. И мне захотелось показать разные модели геометрии Лобачевского, а главное – связи между ними.
Как известно, к открытию новой геометрии Николая Ивановича Лобачевского привела попытка доказать пятый постулат Евклида. Он попробовал доказывать от противного: предположил, что
через одну точку вне данной прямой можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.
И стал делать выводы из этого предположения, надеясь, что рано или поздно придет к внутреннему противоречию. Выводы становились все чудесатее и чудесатее, но противоречия не обнаружилось. Постепенно Лобачевский освоился с этой удивительной геометрией и понял, что противоречий в ней нет. Но не мог убедить в этом других; его геометрия казалась всем слишком противоестественной, чтобы иметь право на существование. А естественной модели у Лобачевского не было.
Подходящие модели удалось построить уже после его смерти. Их элементы – прямые, расстояния, углы – не похожи на привычные.
Чтобы получить первую модель, надо положить полусферу на стол экватором вверх. Представьте, что верхняя полусфера не отрезана – не её воображаемой макушке помещаем точечный источник света (фонарик телефона).
Теперь тени на столе – это модель Пуанкаре на диске.
Границу диска (тень экватора полусферы, обведена синим) называют абсолютом. Вся модель помещается внутри него. Тени полуокружностей – прямые в этой модели. В черной точке пересекаются красная и зеленая прямые; обе они параллельны желтой – не пересекаются с ней.
Из этой же игрушки мы получаем модель Пуанкаре на полуплоскости. На стол мы вертикально поставили книгу, ее обложка черная. Видимая, не загороженная книгой часть стола – это и есть полуплоскость. Полусфера касается стола в одной точке и прислонена к книге. Источник света -- на макушке полусферы. Слева от нее появился крепеж 😉, в первой модели мы обходились без него.
Я взяла рисунок полуплоскости Пуанкаре из старой статьи, чтобы понятнее было, как должны выглядеть прямые. На этом рисунке, кстати, видно, что сумма углов треугольника (АВС или ABD к примеру) меньше π; в геометрии Лобачевского это верно для любого треугольника. На полуплоскости мы это видим своими глазами: модель устроена так, что оценивать углы можно на глаз; по привычкам, усвоенным в евклидовой геометрии.
В следующей модели, Кэли—Клейна, углы не сохраняются. Чтобы ее увидеть своими глазами, нужно источник света удалить бесконечно далеко.
Мы видели разные проекции полусферы при разных расположениях источника света. Каждая задает взаимно однозначное соответствие между точками полусферы и точками модели. Точка на полусфере дает тень, поэтому по точке на полусфере мы можем определить точку на модели. И наоборот, по тени мы можем определить точку на полусфере.
Новогодняя игрушка помогает нам в два счета переходить от одной модели плоскости Лобачевского к другой. Сначала от точки на первой модели к точке на полусфере; а потом от этой точки на полусфере к точке на второй модели.
Идея взята из статьи А.Б.Сосинского «Об эквивалентности трех моделей плоскости Лобачевского» в журнале "Математическое просвещение", №25, 2020.