Часто школьники на занятиях предлагают неожиданные решения задач. Каждый раз хочется их зафиксировать, но... откладываешь. Потом забываешь записать, а потом и забываешь сами решения. Одна из целей этого блога - записать интересные решения школьников.
На 52 Уральском турнире юных математиков на командной олимпиаде лиги 6 классов предлагалась такая задача.
Два гонщика должны преодолеть дистанцию в 240 км. Оба стартуют одновременно с одинаковой скоростью 60 км/ч. Первый каждые два километра увеличивает скорость на 2 км/ч, а второй каждые три километра увеличивает скорость на 3 км/ч. Кто первым доберется до финиша?
Авторское решение можно найти на странице УТЮМов http://cdoosh.ru/ural/ural.html
Ответ. Первый. Решение. Достаточно показать, что если первый гонщик проехал отметку 6k км, где k ⎯ натуральное число, не позже второго, то отметку 6(k+1) км он проедет раньше второго. Так как два километра, следующих после отметки 6k км, оба гонщика едут с одинаковой скоростью x = 60+6k км/ч, а два километра, предшествующих отметке 6(k+1) км, первый гонщик едет быстрее второго (x+4 км/ч против x+3 км/ч), достаточно показать, что если первый гонщик прошел отметку 6k+2 км не позже второго, то он пройдет и отметку 6k+4 км раньше второго. Действительно, первому гонщику на эти 2 км нужно 2/(x+2) ч., а второму ⎯ 1/x+1/(x+3) ч., и 2/(x+2) < 1/x+1/(x+3).
Заметим, что это равносильно неравенству 2x(x+3) < (x+2)(2x+4). Раскрывая в последнем неравенстве скобки и приводя подобные члены, приходим к очевидному неравенству 2x+8 > 0.
Восьмиклассница Виктория Сысолятина из курганского кружка Центра дополнительного математического образования рассказала такое решение.
Посчитаем суммарное время движения первого, используя формулу время=расстояние/скорость.
Получим, что он ехал
t1=2/60+2/(60+2)+2/(60+4)+...+2/(60+2*119)=2/60+2/62+2/64+...+2/298=1/30+1/31+1/32+...+1/148+1/149.
Теперь посчитаем суммарное время движения второго:
t2=3/60+3/(60+3)+3/(60+6)+...+3/(60+3*79)=3/60+3/63+3/66+3/397=1/20+1/21+1/22+...+1/99.
Чтобы сравнить t1 и t2, вычтем из обеих частей общие слагаемые 1/30+1/31+...+1/99.
Получим, что надо сравнить 1/100+1/101+...+1/149 и 1/20+1/21+...+1/29.
Теперь разобьём слагаемые первого выражения на пятёрки:
1/100+1/101+1/102+1/103+1/104<5/100=1/20;
1/105+1/106+1/107+1/108+1/109<5/105=1/21;
1/110+1/111+1/112+1/113+1/114<5/110=1/22;
...
1/145+1/146+1/147+1/148+1/149<5/145=1/29.
Из этих неравенств следует, что 1/100+1/101+...+1/149<1/20+1/21+...+1/29.
Возможно, это решение и сложнее авторского, но оно напоминает доказательство того, что для достаточно больших n выражение
1+1/2+1/3+...+1/n больше любого наперёд заданного числа. Ну, например, 2020.
Напомню, как это доказывается. Заметим, что
1/3+1/4>2/4=1/2;
1/5+1/6+1/7+1/8>4/8=1/2;
1/9+1/10+...+1/16>8/16=1/2;
...
Оценивая "кусочки" суммы половинками и складывая их, получаем то, что хотели доказать.