В прошлой статье из серии Антимагия мы показали, как решаются квадратные уравнения в общем виде. Там мы рассмотрели, что такое дискриминант, откуда он появляется и зачем он нужен.
Однако помимо общей формулы для решения квадратных уравнений есть и частные случаи, для которых есть свои более удобные способы решения. В первую очередь это касается случая, когда второй коэффициент в квадратном уравнении чётный.
*********
Например, решим такое уравнение:
Используем уже знакомый нам алгоритм и постараемся выделить слева полный квадрат:
Обратите внимание, как легко удалось это сделать. За счёт того, что второй коэффициент был чётным, мы сразу выделили множитель 2, который отвечает за удвоение в формуле квадрата двучлена. То есть одночлен с x стал равен 2⋅3⋅x, откуда становится очевидным, что второе слагаемое в двучлене это 3.
Теперь проведём наши рассуждения для более общего случая. Пусть у нас второй коэффициент в квадратном уравнении — чётный. Тогда удобно записать наше уравнение в виде:
Решим это уравнение также через выделение полного квадрата:
Однако, пока мы рассмотрели лишь приведённое квадратное уравнение (то есть такое, в котором коэффициент при равен 1). Для неприведённого уравнения алгоритм такой же, только сначала нам нужно будет разделить его на первый коэффициент. После этого повторим алгоритм поиска корней для полученного уравнения.
Квадратный корень удобно упростить:
В итоге получаем следующие корни:
И окончательный результат для корней:
Есть и другой способ получить ту же самую формулу.
Для уравнения ax²+bx+c=0 мы уже знаем формулы корней
Возьмём теперь уравнение ax²+2kx+c=0 и используем для его решения общую формулу корней.
Далее, на примере первого корня, упростим получившиеся дроби:
Для второго корня результат аналогичен:
Выражение k²—ac называется сокращённым дискриминантом или коротко «дэ на четыре» (т.к. оно в 4 раза меньше обычного дискриминанта).
*********
Сокращённый дискриминант старшеклассники используют не часто. Обычно запоминают формулу для простого дискриминанта и не видят необходимости в поиске корней через сокращённый дискриминант. Или же используют более продвинутые способы решения.
Однако, во многих случаях он может быть полезен.
Например, решим такое уравнение через обычный дискриминант:
Сразу намечаются некоторые вычислительные сложности.
Нужно посчитать 38² (это обычно делается столбиком), потом 4⋅9⋅8 (можно в уме, но на практике чаще тоже считают столбиком), потом вычесть результаты (1444—288, тоже столбиком).
Получается дискриминант равен 1156. Но ведь из него ещё нужно правильно извлечь корень! Мало кто помнит квадрат какого числа равен 1156. Приходится дополнительно находить этот корень подбором по соответствующему алгоритму. Получим, что дискриминант равен 34².
Далее находим сами корни:
С сокращённым же дискриминантом вычисления будут гораздо проще:
38 = 2k, т.е. k = 19
19² легко посчитать, т.к. квадраты чисел до 20 часто знают наизусть. Вычитание можно выполнить в уме. А что 289 = 17² мы получаем снова благодаря знанию таблицы квадратов.
И сами корни легко ищутся по формулам:
Ещё отметим, что при расчёте через дискриминант с чётным вторым коэффициентом вам всегда нужно будет сокращать дроби на 2. Это лишнее действие, которое при сокращённом дискриминанте отсутствует.
Конечно, чтобы овладеть этим инструментом нужна практика. Обычно ученики ленятся запоминать эту формулу и просто пытаются всё посчитать через обычный дискриминант. Также поначалу они забывают, что в знаменателе уже нет умножения на 2 или что первое слагаемое в числителе не число b, а k (то есть его половина, b/2). В таком случае важно несмотря на ошибки всё равно пробовать решать через сокращённый дискриминант, даже если не удаётся запомнить формулу с первого раза.