Классическая олимпиадная задача на исследование квадратных уравнений. Наиболее эффективный способ такого исследования это теорема Виета (зачастую, но не всегда). Предыдущие задачи по теме: Задача 99, Задача 45.
Условие:
Корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0 в 2020 раз больше корней квадратного уравнения cx²+dx+a=0. Докажите, что d²=b².
Решение:
Пусть x1, x2 - корни квадратного уравнения cx²+dx+a=0, тогда nx1, nx2 - корни уравнения ax²+bx+c=0, где n=2020. Тогда по теореме Виета
Откуда получим:
Из равенства (**) получаем
а из (*) имеем
откуда
значит d²=b².
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!