Сегодня разберу последнюю геометрическую задачу с командных олимпиад 54-го Уральского турнира юных математиков. Она про площадь. На мой вкус, все задачи про площадь существенно проще остальных задач по геометрии, ибо набор методов сразу сужен самой постановкой задачи.
Итак, напомню условие.
В задаче есть два слегка отличающихся по решению случая — я разберу один из них, а именно случай, когда угол ABC параллелограмма меньше 120 градусов. Это гарантирует, что точка Y лежит между прямыми AB и CD, а точка X лежит между прямыми AD и BC.
Решение геометрической задачи обычно состоит из нескольких наблюдений или эквивалентных переформулировок, так или иначе, упрощающих картинку или облегчающих поиск связей между посылкой и заключением. Надо стремиться к тому, чтобы ключевые действующие лица задачи были как можно более завязаны друг на друга в новой формулировке.
В этой задаче основное условие и построение происходит на сторонах AB и BC параллелограмма, а заключение касается треугольников, построенных на двух других сторонах AD и DC. Вся связь между ними происходит через параллелограмм. Но параллелограмм можно из этой цепочки исключить. Для этого помогает следующее утверждение.
Если точка Y лежит между прямыми, содержащими стороны AB и DC параллелограмма, то сумма площадей треугольников YAB и YDC равна половине площади параллелограмма ABCD (то есть, в частности, не зависит от точки Y). Это верно, например, потому, что треугольники имеют основаниями равные и параллельные стороны AB и CD, а сумма высот опущенных на эти стороны равна высоте параллелограмма.
В итоге, вместо равенства площадей из условия можно доказывать равенство "дополняющих" площадей треугольников YBA и XBC. Задача стала проще — параллелограмм теперь не нужен, есть только треугольник ABC.
У треугольников YBA и XBC есть равные углы при вершине B, поэтому их площади относятся как произведения заключающих этот угол сторон, то есть нам теперь достаточно проверить, что
Это очень удачный ход — мы ушли от площадей и перешли к длинам отрезков, а ведь посылка в задаче как раз по сути про отрезки, более того, такая переформулировка позволяет благодаря правильности треугольников XBE и YBF избавиться от точек X и Y вовсе и в плотную подойти к точкам E и F, которые пока в решении не участвовали. Нужное нам равенство равносильно равенству
которое уже следует попросту из теоремы Фалеса.