Это не полноценная статья, а, скорее, компиляция из комментариев и ответов под несколькими статьям разных авторов.
Таблица умножения совершенно зазря считается ядром математики.
По степени выученности таблицы судят о способности ребёнка к математике и другим наукам ("какая ему физика, он даже таблицу умножения не знает?")
Она считается основой алгоритмов выполнения любых действий, выше первой ступени ("как ты делить будешь без таблицы умножения?")
И, собственно, всё. Великая и могучая картинка со столбиками - всего лишь два спорных утверждения.
По поводу первого.
Таблица умножения как мерило интеллектуальных способностей.
Только один пример. Майкл Фарадей. Таблицы умножения не знал. Даже далекий от науки человек слышал имя этого великого Физика, который, ничего не умножая, нарисовал новый раздел естествознания.
Я уж не говорю об умственных способностях людей, которые придумали умножение. Не в тарелке пришельцев же они нашли таблицу умножения?
Знание наизусть чуть менее сотни троек числе типа 7, 8, 56 (только три числа, при чем именно в таком порядке) может свидетельствовать о хорошей памяти или высокой степени усердия, но к математическим способностям не имеет никакого отношения, ровно как и знание таблицы Менделеева или таблицы неправильных глаголов не имеют отношения к способностям ребёнка в химии или иностранных языках.
Здесь часто путают знание наизусть таблицы умножения и умение выполнять это самое умножение. Первое никому, на самом деле, не нужно, но ему легко научить и ещё легче проверить. Второе - считается очень важным, но научить этому практически невозможно (не путать с "научить пользоваться алгоритмом"), этому можно только научиться. Проверить тоже легко.
Таблица умножения как ядро для выполнения действий арифметики
Во-первых, "таблица умножения" - некорректное название с точки зрения математики. Табличное задание какого-либо действия требует полной таблицы, в которой перечислены все возможные комбинации операндов. Вспомним таблицы истинности. Вы же не будете утверждать, что это - таблица истинности конъюнкции?
ЛОЖЬ И ИСТИНА = ЛОЖЬ
ИСТИНА И ЛОЖЬ = ЛОЖЬ
Это фрагмент, в котором не хватает ещё двух строчек, без которых полноценно работать невозможно.
Во-вторых, "табличные умножения" (то есть, те, которые есть в пресловутом фрагменте) используются только в алгоритмах умножения и деления, которые учат в школе, но которые не являются ни единственными, ни оптимальными, ни самодостаточными (без важных закономерностей позиционной системы счисления не работают). Никто не запрещает нам умножать без использования этих алгоритмов.
Существуют сотни способов умножения, деления, не требующих знания таблиц. Хотя бы по определению. Немного дольше, зато зубрить ничего не надо. Или русский крестьянский способ. Или китайский. Умножение башенкой (метод замка). Сотни их.
И, в-третьих, вообще о необходимости выполнения действий можно спорить, но есть один железобетонный аргумент, против которого ни один школьный учитель пойти не сможет. Не все действия в школьной математике вообще надо выполнять. Мы записываем готовый ответ в виде действий даже тогда, когда задача стоит "вычислить" и называем это "числом", имея в виду, что при необходимости можно узнать его с любой наперёд заданной точностью. Например, 5/7 или √17.
Ни в реальной жизни, ни в карьере учёного-математика, умножать вручную, тем паче, быстро не требуется. Нормальный математик, вообще говоря, ничего не умножает сам. Есть микроЭВМ, калькулятор, наконец. Зря что ли последний в 6м классе проходят? Я уж не задаю вопрос о том, как вы будете применять таблицу умножения к произведению нечисел (векторов, функций, многочленов, матриц, отношений, кватернионов).
О маразмах выших порядков
Я имею в виду таблицы сложения, вычитания, деления и т.п. На полном серьёзе некоторые заставляют детей учить таблицы сложения! Фрагменты таблиц, конечно, не целиком. Более или менее тут имеет адекватный смысл таблица квадратов натуральных чисел в пределах 100... Но она и так висит в каждом кабинете математики.
Предполагается, что ученик, выучивший таблицу сложения до десятка, будет быстрее складывать. Именно не правильнее, а быстрее. Есть учителя, которые интерпретируют это как "вообще складывать", потому что сложить 7 и 8 на пальцах или методами быстрого счёта через состав числа и дополнения до десятка, не считают математичным. (Одна мне тут сказала, что, дескать, не математично считать по клеточкам площадь, нужно формулы применять, и вообще, "что это за термин такой?") С чем я в корне не согласен, потому что
Учить или не учить?
Математика существует для того, чтобы упрощать какие-то вещи. Умножение по определению через сложение очень быстро становится муторным, поэтому применяются алгоритмы упрощения такого умножения.
С точки зрения методики преподавания математики:
Таблица умножения как упрощение математики, должна появиться в тот момент, когда она действительно будет упрощением. Появиться должна естественно, сама собой. Когда ребёнок много раз умножает по определению (складывает) достаточно лёгкие числа, постепенно он запоминает часто используемые тройки чисел (кэширует). Они выстраиваются в его личную систему, которая запоминается раз и на всю жизнь, и которую невозможно навязать извне. Таблица просто позволит ему восполнить пробелы. Только после мучений со сложением, она выучится сама собой, без усилий. Потому что усилия уже были приложены. Вот такое обучение через практику.
Если попытаться дать таблицу умножения как самостоятельную вещь, как нужную только потому, что она нужна, пользы от этого не будет. И учить будет тяжело (механическое запоминание против смыслового проигрывает в 10 раз), и пользоваться будет неудобно.
Именно это я имел в виду, когда говорил, что для того, чтобы знать таблицу умножения, её нужно не учить.