Продолжаем разбираться с задачами последнего Уральского турнира юных математиков. В командной олимпиаде у старшей группы было две геометрии — четвертая и пятая. На мой взгляд, четвертая задача была труднее пятой, впрочем и ту, и ту на турнире решило 14 из 28 команд старшей группы. Что примечательно, обе задачи решили все 8 команд высшей лиги и ни одну из задач не решила ни одна из 8-ми команд второй лиги, то есть геометрия стала своеобразным водоразделом...
Четвертая задача мне кажется более трудной, возможно, в силу личных причин. Я очень не любил в школе такие задачи (мы их называли "с градусом"), хоть и довольно успешно их решал. Ниже я предлагаю два подхода — геометрический и тригонометрический.
Секрет геометрического обычно состоит в правильном дополнительном построении, однако искать намеки на нужное построение на картинке не так то просто. Среди каких-то наиболее стандартных методов я могу выделить следующие:
1. Ищем наиболее распространенные в школьной геометрии углы в 30, 45, 60 и 90 градусов, достраиваем до соответствующих прямоугольных или равностороннего треугольника. Авось что-то получится.
2. Ищем на картинке биссектрисы. Очень может быть, что какая-то из точек является точкой пересечения внутренних или внешних биссектрис какого-то треугольника. Это сильно раскрывает картинку.
3. Если есть равнобедренные треугольники, то, возможно, какая-то из точек является точкой пересечения серединных перпендикуляров, центром описанной окружности какого-то треугольника. Это тоже легко закомуфлировать, однако после соответствующего наблюдения задача быстро раскручивается.
4. Если в задаче есть какая-то симметрия — грех ее не использовать.
5. Общая рекомендация: возможно чертеж из задачи является частью какой-то другой более понятной конструкции, которую надо восстановить, попробуйте понять, что на картинке стерли. (На самом деле большая часть задач с градусами являются кусочками картинки с правильным многоугольником и допускают соответствующее решение, но я никому такой подход не советую...)
6. Стараемся делать дополнительные построения не бездумно, а такие, которые добавляют новую информацию, или уменьшают количество конструкций в задаче. (Мутная рекомендация, но сейчас могу ее оформить только в таком виде... тут требуется некий опыт.)
Итак, собственно задача.
Первым шагом в решении таких задач должно быть следующее — надо вычислить все углы на картинке, которые вычисляются без дополнительных наблюдений (причем не забыть и про внешние: иногда какой-то из лучей является биссектрисой внешнего угла). В нашем случае внешние углы роли не сыграют, поэтому я отмечу только внутренние. Часть углов вычисляется исходя из данной в условии параллельности, часть углов, исходя из равнобедренности треугольника ADC. В итоге, наблюдаем следующую картину.
После подсчета углов видим, что DA является биссектрисой угла FDC. Это очень хорошо. Кроме того, образовался угол BAD в 30 градусов. Это тоже очень круто. Думаем, как использовать оба этих наблюдения эффективно. Ответ напрашивается — надо точку F отразить относительно DA. Получившийся образ, точка E, во-первых, попадет на BC, а во-вторых, образуется равносторонний треугольник FAE.
После сделанного дополнительного построения производим пересчет углов и оказывается, что треугольник AEC равнобедренный (равные отрезки отмечены красным). Теперь уже на картинке достаточно информации для вычисления нужного угла. Треугольник FEC равнобедренный и внешний угол при вершине E равен 20 градусам, следовательно, искомый угол DCF равен 10 градусам.
Это, конечно, далеко не единственное решение, однако, на мой взгляд, наиболее естественное. Но что же делать, если не приходит в голову правильного дополнительного построения? В таких задачах, как правило, можно все свести к некоторому тригонометрическому тождеству. Для этого полезно попытаться угадать ответ. В нашем случае визуально ясно, что угол меньше половины от 40 градусов. Чаще всего в таких задачах ответ кратен 5, поэтому он либо 10 градусов, либо 15. Предположим, что мы угадали ответ — 10 градусов, как его обосновать?
Давайте внимательно посмотрим на картинку, в какие треугольники входит этот угол. Только в два — в BCF и DCF, причем в одном из них углы должны быть 10 и 40 градусов, а в другом — 10 и 30 градусов. Я выбираю второй и пользуюсь очень полезным соображением (практически обратная теорема синусов): если я докажу, что
то углы треугольника будут равны 10 и 30 градусам соответственно. Действительно, по теореме синусов
и если угол FCD меньше 10 градусов, то угол DFC больше 30 и дробь окажется меньше нужного отношения, а если угол FCD больше 10 градусов, а DFC меньше 30, то дробь окажется больше нужного отношения. (Это соображение хорошо работает для острых углов, но остается верным и для тупых.) Итак, мне достаточно доказать, что
и задача будет решена. Но DC=AC и отношение FD/AC есть коэффициент подобия треугольников BFD и BAC, равный BD/BC. Заметим, что
Таким образом, достаточно проверить несложное тригонометрическое равенство
которое я оставлю читателям в качестве упражнения.