Всем привет и с Новым Годом!
Начну потихоньку разбирать задачи Уральского турнира, опубликованные в предыдущем посте. Не обещаю, что разберу все, но как минимум те, к которым уже сделаны картинки. Начнем с задач командной олимпиады. Сегодня разберем простенькую задачку для седьмого класса. Итак, напомню ее условие.
Кстати, с удивлением обнаружил, что ровно такая же задача была на предыдущем 53-м уральском турнире на командной олимпиаде 7-го класса, только под номером 3. Вот сравните:
Даны три равных отрезка AB, BC и AD, причем точка D лежит на отрезке BC. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку DC, биссектриса угла ADC и прямая AC пересекаются в одной точке.
В седьмом классе у школьников не так много инструментов для доказательства того, что три прямые пересекаются в одной точке. Обычно речь идет про какое-то вычисление углов. В нашем случае можно поступить одним из двух способов: пересечь биссектрису с прямой AC и доказать, что точка пересечения лежит на серединном перпендикуляре. Или наоборот — пересечь серединный перпендикуляр со стороной и доказать, что точка пересечения принадлежит биссектрисе. И тот и другой путь приводят в результате к одному и тому же наблюдению, а именно, требуется установить, что угол ADC в два раза больше, чем угол при основании исходного треугольника.
Это уже простое вычисление углов. Угол B при вершине треугольника ABC дополняет удвоенный угол при основании до развернутого. В свою очередь, из равнобедренности треугольника ABD он же равен углу ADB, которые дополняется до развернутого углом ADC. В итоге заключаем, что угол ADC равен удвоенному углу при основании треугольника ABC.