Эти задачи действительно сложны. За последний месяц в группе Незадача дня их условия прочитали по 2-2,5 тысячи человек и ни одну не решили. Тем не менее надежда на коллективный разум есть. Я уже рассказывала про две задачки-близняшки с разными судьбами -- разобраться с ними помогли комментарии читателей.
Ну и условия задач
Четыре ортоцентра
Доказывать, что три точки лежат на одной прямой, обычно довольно трудно — непонятно, с чего начинать. А эта задача — про четыре точки.
На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Тонкими линиями проведены вписанная и вневписанные окружности. Точки касания каждой окружности со сторонами (или их продолжениями) соединены — получились четыре треугольника; на картинке они раскрашены разными цветами.
Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.
(Ортоцентр треугольника — это точка пересечения высот.)
Ренат Хатымов в геогебре увидел, что эти 4 ортоцентра лежат на высоте треугольника ABC, проведенной к гипотезнузе. Это соображение сводит исходную задачу к другой, видимо, более простой (но это неточно).
И еще ортоцентр на прямой
Задача от Давида Бродского и тоже про принадлежность ортоцентра прямой:
доказать, что ортоцентр треугольника, вершины которого совпадают с серединами биссектрис данного, всегда лежит на прямой Эйлера исходного треугольника.
Ее можно переформулировать: доказать, что ортоцентр треугольника с вершинами в основаниях антибиссектрис данного всегда лежит на прямой Эйлера данного.
Можно успеть: автор обещает подарок за решение, представленное до Рождества.
Наверное, подобие (или нет)
Задача от Андрея Шевцова
(МНI) - вписанная окружность треугольника JKG.
Прямая HI пересекает описанную окружность (JKG) в точке L, лежащей на дуге GK. Прямая ML вторично пересекает вписанную окружность в точке N и описанную в точке О.
Доказать, что OL/MN = (R+r)/r, где R и r - радиусы описанной и вписанной окружности соответственно.
Кому удобно, можно писать комментарии вконтакте