Поясню видео из предыдущего поста
1. Если ортоцентр H отразить относительно середины M стороны BC получится такая точка A', что четырехугольник HBA'C — параллелограмм. это в частности означает, что A'B и AB перпендикулярны и A'C и AC перпендикулярны. Следовательно точка A' является диаметрально противоположной точке A на описанной окружности треугольника ABC.
2. Если точка A движется по окружности, проходящей через точки B и C, то точка H движется по равной окружности. Окружности симметричны относительно середины стороны BC, симметричны относительно стороны BC и отличаются параллельным переносом на вектор AH.
3. Вектор AH не зависит, кстати, от положения точки A и равен удвоенному вектору, соединяющему центр O описанной окружности треугольника ABC с серединой M стороны BC.
4. Длина AH выражается через длину стороны BC и угол A. Поскольку она не зависит от положения, можно вычислить в случае, когда, скажем, угол B прямой. В результате получим, что AH=BC ctg α.
5. Замечаем, что точки симметричные H относительно середин сторон треугольника и относительно оснований высот лежат на описанной окружности. Значит и сами середины сторон и основания высот лежат на одной окружности (гомотетия с центром в H). Это окружности Эйлера или девяти точек. Почему же девяти, когда мы нашли только три? А есть еще середины отрезков AH, BH и CH, которые являются образами вершин A, B и C.