На прошлой недели встала передо мной задача построить угол в 72 градуса без транспортира, потому что такого в доме не оказалось. Покрутив немного это число в голове, я стала думать о делении углов на несколько частей с помощью циркуля и линейки.
Например, есть довольно простой способ построить биссектрису угла (разделить угол на две равные части).
Как следствие, мы можем разделить угол на 4, 8, 16... (степень двойки) частей. Долго, муторно, но всё возможно.
А если надо разделить угол на три части? И здесь вспоминается задача о трисекции угла, которая при кажущейся простоте, не так уж и проста.
Данной задачей стали заниматься еще в Древней Греции. И с удивлением поняли, что используя только циркуль и линейку невозможно выполнить данное построение. Они не долго отчаивались и изобрели механизмы позволяющие выполнить данное построение, но осадок остался.
И многие математики бились над этим вопросом, пока в 1837 году Ванцель не доказал, что эта задача не разрешима в общем виде. То есть для конкретных углов это можно сделать, но если у вас угол произвольной величины, то ничего не получится. (Хотя в интернете можно найти различные способы деления произвольного угла на три части. Вот, например.)
Интересно, что для доказательства невозможности данного построения задача переносится из геометрического мира в алгебраический. Так Ванцель в своём доказательстве показал, что построение возможно только тогда, когда решение соответствующего уравнения можно выразить через квадратные радикалы.
Ванцель проделал большую работу по доказательству невозможности трисекции угла. В своих рассуждениях он подошел довольно близко к теории полей, но в то время она еще не была сформулирована. Хотя его теоремы показывают, что мир математики был к этому готов. А тем временем работа Галуа ждала своего часа.
С использованием теории полей и понятий расширения поля доказательство Ванцеля становится весьма элегантным.
А свою задачу я решила купив транспортир.