15-го декабря прошел третий дистанционный отборочный тур на олимпиаду Эйлера, которая является аналогом Всероссийской олимпиады для восьмых классов. Если второй тур был составлен на основании питерской районной олимпиады, то третий тур был по задачам муниципального этапа кировской областной олимпиады (кировчане в этом туре участвовать не могли).
Геометрическая задача в варианте из пяти задач шла под номером 3.
На мой взгляд, задача очень простая. Наверное это как-то должно было компенсировать сложность варианта питерской районки 8-го класса этого года.
Конечно, ключом к решению служит угол в 45 градусов, который дает на картинке много равнобедренных прямоугольных треугольников. Так, если основания высот из точек B и C обозначить через D и E соответственно, сразу получаем, что BD=AD и CE=AE. Кроме того, угол между высотами тоже равен 45 градусов, поэтому BE=EH и CD=DH, где H --- точка пересечения высот треугольника. На двух рисунках ниже равные отрезки отмечены одним цветом.
Учитывая полученные равенства приходим к тому, что утверждение задачи сводится к неравенству BH+HC>BC, которое верно по неравенству треугольника.
Кстати, одно из замечательных свойств треугольника с углом 45 градусов состоит в том, что расстояние от вершины с углом 45 градусов до точки пересечения высот равно длине противолежащей стороны. Это хорошее упражнение на равенство треугольников...