Допустим мы хотим алгебраически описать гору, а именно, ее наклон.
Посмотрим на зависимость ширины от высоты. 10 метров в высоту на отметке в 10 метров (от начала горы) в ширину. Следовательно с каждым метром вправо гора в высоту растет на 1 метр.
Функция такой горы это y = x , то есть координата ширины = координата высоты. Гора равномерно набирает высоту и скорость увеличения = 1 (т.к. каждый новый y будет на тоже самое число больше предыдущего y, что и каждый новый x больше предыдущего x). Так вот, эта скорость увеличения - это и есть производная. Получается, что производная от функции y = x равна 1.
Но гора не обязательно равномерно возрастает, рассмотрим периодическую функцию y = sin(x)
Начнем слева. Там даны 2 треугольника с одинаковой стороной x, но легко заметить, что стороны по оси y неодинаковые, они сильно отличаются. Значит функция изменяется неравномерно. В начале, когда значения y еще маленькие функция возрастает быстро (левый треугольник), а после очень медленно (правый). На оси y я отметил, где скорость изменения максимальна, а где она минимальна. Если отметить для каждой точки x скорость изменения функции на оси y, то получится синий график. Этот график - это тоже синусоида, только смещенная относительно первой на π/2 радиан. sin(x+ π/2 ) = cos(x) по формуле приведения. Таким образом получаем, что производная от sin(x) равна cos(x), записывают так:
sin(x)' = cos(x)
В прошлом абзаце я сказал "Если отметить для каждой точки x скорость изменения функции на оси y ...". Скорость изменения функции в точке отметить конечно нельзя, но можно взять отрезок на оси x оооооочень маленького размера. Вот чем на самом деле является производная:
Дельта x стремится к 0, то есть отрезок на оси x ооооооооооооочень маленький , а вместо дельта y подставляем функцию которую исследуем и если существует какой-то предел - это и есть производная.
Дифференцирование
это нахождение производной. Общие закономерности при нахождении скорости изменения функций уже давно выведены и обобщены в формулах дифференцирования.