Первого декабря прошел муниципальный этап Всероссийской олимпиады по математике. Сегодня разбираем геометрию из 8-го класса, предлагавшуюся в Москве. Задача не слишком свежая, что, видимо, не очень принципиально для муниципального этапа, но все же немного обидно...
Итак, задача.
Для сравнения посмотрите на следующую задачу с Турнира городов, которая появлялась на нем минимум дважды в тренировочном варианте осеннего тура 2000/2001 для 8-9 классов под номером 2 и в тренировочном варианте весеннего тура 1996/1997 для 8-9 классов под номером 5 (насколько далеко шагнули знания 9-классников за 4 года!).
Мне кажется, что я видел эту задачу на еще какой-то совсем недавней олимпиаде. Ну да неважно.
Обе задачи решаются одинаковыми дополнительными построениями. В одном надо продлить прямую ED до пересечения с BC. (Я вообще рекомендую делать это дополнительное построение, если у вас есть отрезок, соединяющий две точки на параллельных прямых, его середина и какой-то другой отрезок, упирающийся в эту середину --- в нашем случае DE). В этом случае вы зарабатываете параллелограмм и много интересных наблюдений.
А второе дополнительное построение, которое решает обе задачи --- отметить середину CD и соединить ее с точкой B.
Предлагаю вам самостоятельно довести решение до конца. В обоих осталось сделать по одному простому наблюдению. А я лишь приведу картинки с соответствующими дополнительными построениями.