Два многогранника из одинаковых граней

Можно ли из одинаковых граней сложить выпуклый и невыпуклый многогранники? Конечно, можно, скажете вы. Вот, например, так:

Кубик, на одной из граней построена пирамида. Можно построить такую же пирамиду внутрь куба, получится невыпуклый многогранник с такими же гранями, как у первого.

А можно ли сделать так, чтобы у невыпуклого многогранника объем оказался больше, чем у выпуклого? Оказывается, можно.

Построение многогранников

Возьмем треугольники двух разных видов. Вот такие:

Верхний треугольник похож на равнобедренный, но это не так. Обратите внимание на равные стороны этих двух треугольников. Это будет общее ребро двух разных граней.

Совместим два больших треугольника по стороне sqrt(101). Приложим к каждому маленький треугольник по общей стороне. Совместим короткие стороны маленьких треугольников. Получим пирамиду, добавим снизу такую же симметричную. Получим неправильный выпуклый октаэдр. Вот он слева:

Выпуклый и невыпуклый октаэдры из одинаковых граней

Теперь из тех же четырехугольников соберем невыпуклый октаэдр (он справа). Соберем из больших треугольников пирамиду, оставив снаружи стороны длиной sqrt(102). Из маленьких треугольников тоже соберем пирамиду. Совместим равные стороны.

Сбоку октаэдры выглядят так:

Выпуклый и невыпуклый октаэдры из одинаковых граней. Вид сбоку

Если мы сравним объемы полученных октаэдров, окажется, что объем невыпуклого больше примерно в 1,163 раза.

Вы можете сами это проверить. Возьмите октаэдры вот с такими координатами вершин:

Именно такие октаэдры построены выше

Этот пример придумал С. Н. Михалёв в 2002 году. Это лучший из известных примеров — с максимальным известным отношением объёмов многогранников.

До сих пор неизвестно, насколько большим может быть отношение объёма невыпуклого многогранника к объёму выпуклого, составленного из тех же граней. Этот вопрос ещё ждёт своего исследователя.

Источники

Все материалы взяты с сайта проекта «Математические этюды», и это согласовано с авторами проекта.

Автор рисунков: Роман Кокшаров

У проекта «Математические этюды» есть пятиминутный мультфильм об этих многогранниках. Если статья вам понравилась, посмотрите мультик, он еще лучше. Там в эти октаэдры наливают воду, чтобы сравнить объемы.