25-го и 26-го прошли туры Китайской национальной математической олимпиады. Традиционно эта олимпиада является этапом отбора на международную математическую олимпиаду не только для китайский школьников, но и российских кандидатов в сборную. В этом году это было особенно интересно, поскольку в 2020-ом году международная математическая олимпиада пройдет не где-нибудь, а в Санкт-Петербурге, и будет в каком-то смысле предварять международный математический конгресс 2022-го года.
Шестеро кандидатов в команду России участвовали в олимпиаде очно и выступили вполне себе позитивно --- пятеро получили золотые медали и один получил серебряную.
Золото: Константин Мясников (Челябинск); Иван Бахарев (Санкт-Петербург); Максим Туревский (Санкт-Петербург); Тимофей Ковалев (Москва, ну почти...); Георгий Захаров (Курган).
Серебро: Иван Лялинов (Санкт-Петербург).
С точки зрения задач Китай меня в этом году приятно удивил. Задачи были не тошнотворные (скажем так, не все задачи были тошнотворными). Но, что еще более интересно, на олимпиаде была всего одна геометрия (под номером 2). Во второй день была несложная комбигеометрия (под номером 4). Не знаю насколько это может отражать общие веяния...
Геометрическая задача звучала так:
На Всероссийской олимпиаде эта задача могла бы попасть лишь в 10 или 11 класс и, на мой взгляд, только под номером 3 или 7. Для того, чтобы решить такого уровня задачу, просто внимательно посмотреть на картинку не достаточно. Требуется во-первых, сделать какое-то наблюдение, то есть заметить что-то следующее, скажем, из конфигурации, а во-вторых, иметь в голове некий план, как вообще можно получить такое заключение в задаче. Давайте начнем со второго.
Конечно, равенство отрезков на первых этапах обучения геометрии обычно сводится к равенству треугольников. Однако в данной ситуации этого ожидать не следует, поскольку, в задаче практически нет ничего, что намекало бы на равные треугольники. Куда более продуктивной идеей является доказательство того, что точка K делит отрезок EF в том же отношении, в котором точка L делит отрезок FE (те, кто знаком с хоть чуть-чуть проективной геометрией усмотрят тут двойные отношения и на самом деле они по делу --- см. конец поста перед решениями). При таком подходе в задаче придется считать отношения отрезков --- и это хорошо, ведь есть параллельные прямые и куча вписанностей, а значит много подобных треугольников. При этом с точкой K все довольно просто. Отрезки KE и KF легко выражаются через отрезки на прямой BC с помощью подобия или теорем о пропорциональных отрезках. Пристальное вглядывание в картинку показывает, что с точкой L все не так просто...
Теперь вернемся к наблюдению, которое надо сделать. Оно в этой задаче довольно простое: оказывается точки B, C, Q и R обязательно лежат на одной окружности, лишь бы точка P лежала на продолжении биссектрисы.
Сформулируем это как первую подзадачу, которая вполне могла бы быть самостоятельной интересной задачей для девятиклассника или даже восьмиклассника, если он уже знает вписанные углы.
У этой задачи есть два несложных решения: одно опирается просто на счет углов, а второе привлекает инверсию.
Прочитать решение задачи 9-1 можно в конце поста.
Следующая подзадача посчитать в каком отношении точка K делит отрезок EF. Мы сразу переформулируем задачу без точки P. Всегда надо стремиться к уменьшению количества сущностей на картинке.
Прочитать решение задачи 9-2 можно в конце поста.
Ну и, наконец, финальный аккорд, посчитать в каком отношении точка L делит отрезок EF. На удивление, после небольшого дополнительного построения это можно сделать практически дословно повторив рассуждения для точки K.
Прочитать решение задачи 9-3 можно ниже.
Ну и теперь обещанное напутствие для любителей проективной геометрии. Оказывается для доказательства того, что FL:LE=EK:FF вовсе не нужно утверждение, что AD --- биссектриса. Достаточно чтобы точки Q, R, B и C лежали на одной окружности. Можно сбросить на задачу ядерную боеголовку под названием двойственная теорема Дезарга об инволюции. Успехов)) Думаю, как-то так и размышлял автор, когда придумывал эту задачу...
Уфф... длинный получился пост, обещаю в следующем разобрать что-то более простое и изящное. Но надеюсь и это было хоть чем-то полезно.
Ну а теперь решения.
Решения задачи 9-1.
Решение задачи 9-2.
Решение задачи 9-3.