Иногда возникает ощущение, что я постоянно нахожусь в поиске интересных задач. Особенно геометрических. Наверно, это ощущение знакомо всем учителям математики. Ведь несмотря на множество учебников и пособий, иногда не хватает узкоспециализированных задач.
Например, есть у нас цель научить детей решать задачи, используя дополнительные построения. Конечно, мы расскажем теорию вопроса, но, чтобы научиться решать задачи, нужно решать задачи. И вот, предлагаем детям задачу, поясняя, что потребуется сделать дополнительное построение. И они начнут строить... Чего только они не построят, при должной степени свободы. Особо удачливые могут сразу выбрать нужный вариант, а особо терпеливые нужный вариант могут найти. Но учитель ведь точно знает, какое дополнительное построение нужно и понял он это практически сразу, как прочитал задачу. У него ОПЫТ. Который теперь нужно отбросить и взглянуть на задание глазами детьми, чтобы понять, как их натолкнуть на нужную мысль.
И вчера мне попалась задача, в которой это довольно легко сделать. Делюсь ей с вами, вдруг кому-то пригодится.
Делаем чертеж.
Выглядит не очень просто. Но взгляните внимательно на условие. Два параллельных отрезка, один из которых в два раза меньше другого? Чувствуете, да?
Конечно, вы правы. Это она. Средняя линия треугольника. Никакого треугольника нет? Но это легко исправить. Достроим трапецию ВСDE до треугольника. (BCDE - трапеция по определению, две стороны параллельны, а две другие нет.)
Не знаю, как вы, но я испытываю восторг. Довольно популярное дополнительное построение и здесь всё так явно на него указывает. А если решить с детьми задачу на среднюю линию, что-нибудь простое, чтобы вспомнить. Скорее всего, большинство сразу поймет, какое дополнительное построение надо сделать. (я наивна?) Но я отвлеклась.
Вернемся же к задаче, тем более, что осталось всего чуть-чуть.
Отметив все равные отрезки на чертеже, мы поймем, что для полного счастье стоит провести отрезок AM. И вот оно!
Равнобедренные треугольники! Параллельные отрезки! Разве это не рай!
Ниже публикую мое решение. Все желающие могут опубликовать свой вариант в комментариях.