И так, вот мы и дошли до средних по сложности задач в экзамене по профильной математике. Давай те же разберемся в этих производных и первообразных, которые могут встретится в ЕГЭ.
Существуют 4 вида задач:
- Физический смысл производной
- Геометрический смысл производной, касательная
- Применение производной к исследованию функций
- Первообразная
Если же вы не знаете что такое производная и первообразная, то в следующих статьях сы вам сё расскажем и покажем.
Задача на первый тип:
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)= ½ * t3 – 3t2 +2t
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
Попробуйте решить сами, а затем проверьте своё решение:
________________________________________
Найдем закон изменения скорости:
v(t)=x’(t) =3/2 *t^2 - 6t +2 (м/с)
Тогда находим:
v(6)=3/2 * 36 – 6*6 + 2 = 20 (м/с)
Ответ: 20.
Второй тип:
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение:
__________________________________
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 6), B (−3; 4), C (5; 4).
Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:
y’(x0)=tg(180 - ∠ACB) = -tg∠ACB = - AB/BC = - 2/8 = - 0.25
Ответ: −0,25.
Третий тип:
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?
Найдите ответ сами, а затем сверьтесь с решением:
__________________________________
На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке -7.
Ответ: −7.
Четвёртый тип:
На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].
По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство
f(x)=F'(x)
Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение f(x)=0 имеет 10 решений.
Ответ: 10.
В одной из следующих статей мы подробнее разберем первообразную и, возможно, производную.
Но а пока, подписывайтесь на наш канал и ставьте палец вверх!
И помните: учение - свет, а неучение - чуть свет и на работу!)