В предыдущих статьях мы обсудили материалы для классических олимпиад, которые позволяют подготовиться к соревнованиям. Однако, есть старшеклассники, которым интересна внешкольная математика, а такое спортивное решение задач нет. Например, хочется разобраться с геометрией Лобачевского и понять, что это такое и где используется. Но обычно в подготовке к олимпиадам эта тема почти не затрагивается, и такой красивый раздел математики просто проходит мимо.
У студентов младших курсов другая проблема. В вузе на них сваливается лавина новых знаний, которые часто даются в формальной неудобоваримой форме. И разумнее было бы сначала попытаться понять простые вещи из конкретных разделов, привыкнуть к ним, а уже потом глубоко в них погружаться. Однако, в вузе никто этим не заморачивается, и студенты всю оставшуюся учёбу страдают от непонимания.
В текущей статье мы поговорим о материалах, которые помогут получить начальные системные представления об основных разделах высшей математики. Мы подбирали их таким образом, чтобы они были понятны интересующимся старшеклассникам и студентам младших курсов.
Сначала перечислим книги, где понемногу рассказывается о разных разделах математики.
- Начнём с широко известной серии «Библиотека – математическое просвещение». Это небольшие легкочитаемые брошюрки, где в ненавязчивой форме рассказываются какие-то интересные математические факты. Чаще всего излагается какая-то актуальная математическая проблема, причём очень доступным языком. Хорошие книги, но в отличие от других книг ниже, они не такие глубокие.
- «Популярные лекции по математике». Ещё одна серия книг. Здесь много полезного и для олимпиадников, и для тех, кто просто неравнодушен к математике. Когда мы будем рассматривать конкретные разделы, часть из предложенных книг будет именно из этой серии.
- «Математика без формул» (Пухначев Ю. В., Попов Ю. П.). Очень коротко описаны основные разделы. Причём достоинство этой книги ещё и в том, что в ней почти не используется формальный математический язык и больше живого объяснения сложных тем.
- «Математический дивертисмент. 30 лекций по классической математике». Очень красивые и понятные лекции по математике со множеством рисунков. Из аннотации: «Предлагаемая книга содержит тридцать лекций, посвященных разнообразным сюжетам из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии, как классическим, так и современным. Лекции независимы друг от друга, и их можно читать в любом порядке. Немногочисленные перекрестные ссылки призваны лишь продемонстрировать связь между разными сюжетами. Объем предполагаемых знаний варьируется от лекции к лекции, но никогда существенно не выходит за рамки школьного курса. Значительная часть обсуждаемого материала не содержится в стандартных учебниках, но тем не менее входит в минимум знаний, необходимых каждому математику. Почти каждая лекция содержит математические сюрпризы даже для опытных исследователей.»
- В заключение можете посмотреть вот такой фундаментальный труд по всем основным разделам школьной математики: «Энциклопедия элементарной математики» (Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я.). Эту пятитомную энциклопедию создали для того, чтобы массово познакомить школьных учителей с высшей математикой. Поэтому авторы старались дать системное изложение максимально понятным языком, опираясь на крепкие знания школьной программы.
Ну а теперь давайте посмотрим на карту математики как науки и перечислим материалы по некоторым из них.
Итак.
Теория множеств и математическая логика
Множество – это фундаментальное понятие математики и каждый её раздел в том или ином виде его использует. Поэтому желательно заранее поближе познакомиться с тем, что это такое. Прежде всего стоит обратить внимание на книгу “Рассказы о множествах” (Виленкин Н.Я.). Книга ориентирована на школьников, написана очень понятным языком и содержит много наглядных примеров. После неё можно изучить книгу с более сложными понятиями теории множеств “Начала теории множеств” (Н. К. Верещагин, А.Шень)
Что касается математической логики, то лучшая книга для начального ознакомления – это “Математическая логика” (Никольская И.Л.). Ну а дальше в зависимости от ваших целей и текущего уровня знаний можете посмотреть следующие книги: “Введение в математическую логику” (Зюзьков В.М.), “Языки и исчисления” (Н.К. Верещагин, А.Шень), “Сон разума. Математическая логика и её парадоксы” (Х. Фресан), “Элементы математической логики” (Новиков П.С.), “Что такое математическая логика?” (Л.А. Калужнин.)
Ещё можно порешать задачи на эту тему из книги: “Некоторые способы решения логических задач” (Шевченко В.Е.)
Математический анализ
«Матан» стал синонимом сложной непонятной математики и пугалом для абитуриентов. Однако, разобравшись в нём, вы получите хорошую базу для освоения других математических дисциплин.
Одно из ключевых понятий математического анализа – предел. В школе, чтобы не перегружать учеников, его объясняют очень нестрого, что ведёт к тому, что такие понятия как производная плохо усваиваются школьниками. Книга “Пределы” (Кириллов А.А.) поможет глубже понять, что это такое. Она написана в виде задачника, но хорошо подходит для использования в качестве учебника, так как через решение задач показаны многие теоретические вещи.
Дальше можно посоветовать двухтомник “Математический анализ с человеческим лицом” (Пантаев М.Ю.). Там невероятно доступным языком объясняют весь страшный матан. Есть интересные отсылки к истории и развитию математики. Особенно рекомендуем эту книгу тем, кто паникует при словах «математический анализ». Она поможет избавиться от боязни математического анализа и от головных болей связанных с ним.
Основы анализа можно также начать осваивать через решение задач. В этом вам поможет книга “Задачи по математике. Начала анализа. Справочное пособие” (Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И.). Она создана специально для старшеклассников продвинутого уровня.
Тем, кто неплохо разбирается в физике и технике, можно попробовать изучить книгу “Высшая математика для начинающих” (Зельдовича Я.Б.). В ней многие математические вещи вводятся не строго математически, а на интуитивном физическом уровне. Есть ещё книга “Математический анализ для школьников” (Понтрягин Л.С.), но она подходит не всем.
А кому хочется большей фундаментальности, строгости и математичности в курсе анализа, вам поможет классический трёхтомник “Курс дифференциального и интегрального исчисления” (Фихтенгольц Г.М.). При должной математической подготовке и культуре достаточно понятный учебник.
Комплексный анализ (ТФКП)
Обычно в школьной математике считается, что нельзя извлекать квадратный корень из отрицательных чисел и в частности из -1. На самом деле это верно лишь отчасти. Есть огромный раздел математики, допускающий, что это возможно — комплексный анализ. Для тех, кто хочет познакомиться с этой областью, есть две простые и хорошие книги: “Комплексные числа и конформные отображения” (Маркушевич А. И.) и “Комплексные числа. 9-11” (Глазков Ю.А.).
А тем, кто её осилил, можно посмотреть и три другие книги: “Комплексные числа и их применение в геометрии” (Яглом И.М.), “Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах” (Понарин Я. П.), “Реальные применения мнимых чисел” (Балк М. Б., Балк Г.Д., Полухин А.А.)
По сути все перечисленные материалы знакомят читателя только с комплексными числами. Как такового анализа там нет, потому что для его изучения нужно много теоретических знаний по другим разделам.
Дифференциальные уравнения
После изучения азов анализа можно познакомиться с базовыми вещами в дифференциальных уравнениях. Для этого могут пригодиться две книги: “Математический анализ реальности. Дифференциальные уравнения для школьников” (Земляков А.Н.) и “Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем” (Аносов Д.В.)
А тем, кто уже знаком с основами математического анализа, поможет более серьёзная книга “Дифференциальные уравнения в приложениях” (Амелькин В.В.). Для школьников она сложновата из-за слабой базы начальных знаний, но в качестве вводной для студентов её можно использовать.
Ещё есть книга “Математические бильярды” (Гальперин Г.А.). Она скорее по динамическим системам, однако там хорошо объясняется такое важное для дифференциальных уравнений понятие как фазовое пространство.
Высшая алгебра
Самые лучшие материалы для освоения основ высшей алгебры для школьников — это цикл лекций “Избранные главы алгебры” (Шафаревич И.Р.). Очень доступное и плотное изложение. В принципе, одной этой книги может хватить, чтобы уже на первом курсе не бояться алгебры.
Тем, кто хочет поближе познакомится с таким понятием как матрицы, зачем они нужны и как ими оперировать, поможет книга “Определители и матрицы” (Боревич З. И.). Cами матрицы как объекты в целом интуитивно понятны, поэтому книга читается очень легко, несмотря на то, что там есть хорошая математичность.
Теперь к обратимся к более абстрактным математическим конструкциям, к примеру, таким как группы. Очень хороши книги “Введение в теорию групп” (Александров П.С.) и “Зазеркалье. Симметрия в математике”(Хоакин Наварро). Они помогут вам познакомиться с этой ключевой теорией высшей алгебры.
Кто хочет глубже окунуться в теорию, можете посмотреть брошюры “Алгебраические уравнения произвольных степеней” (Курош А.Г.) и “Теорема Абеля в задачах и решениях” (Алексеев В.Б.). Они сложнее, чем предыдущие, но если вас зацепила эта тема и вы также хотите доступного изложения, то посмотрите их.
Теория чисел
Что касается теории чисел, то здесь тоже можно посоветовать две книги для начального ознакомления. Это книга “Простые числа. Долгая дорога к бесконечности” (Энрике Грасиан) и чуть более продвинутая книга на ту же тему “Приглашение в теорию чисел” (Оре Ойстин). Это не та страшная теория чисел, которая проходится на старших курсах в вузах, а такая уютная и домашняя, доступная старшеклассникам, подготавливающая к серьёзной науке. Следом можно прочитать “Высшая арифметика. Введение в теорию чисел” (Г.Дэвенпорт). Ну а если вам хочется более сложной теории чисел, уже близкой к серьезной науке, но не такая сложная, то дальше можете посмотреть книги “Основы теории чисел” (Виноградов И. М.) и “Введение в аналитическую теорию чисел” (К. Чандрасекхаран).
Ну а дальше перечислим просто некоторые полезные и относительно понятные книги на эту тему: “Решение уравнений в целых числах” (А.О. Гельфонд), “Теория чисел. Элементарный курс” (Сушкевич А.К.), “Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений” (Гашков С.Б., Чубариков В.Н., Садовничий В.А.), “Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA” (Коутинхо С.), “Числа рациональные и иррациональные” (Нивен А.), “Признаки делимости” (Воробьев Н. Н.), “Теоретическая арифметика” (Арнольд И.В.)
Также можете посмотреть некоторые книги Вацлава Серпинского по отдельным разделам теории чисел.
Геометрия и топология
Теперь давайте посмотрим, во что дальше развивается элементарная школьная геометрия.
Общее представление вам дадут следующие книги: “Инверсия” (Бакельман И. Я.), где описано некоторое хитрое преобразование плоскости, которое позволяет решать многие задачи (кстати, будет полезна и олимпиадникам); “Геометрические свойства кривых второго порядка” (Акопян А.В., Заславский А.А.), где описаны интересные кривые на плоскости; “Прямые и кривые” (Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л.), где также доступным языком рассказано про плоские кривые.
Дифференциальную геометрию будет сложно понять без предварительной подготовки, поэтому ничего вам из этой области не советуем. А вот изучить начала топологии можно попробовать.
Здесь вам помогут следующие книги: “Элементарная топология” (Виро О.Я), “Деформируемые формы. Топология” (Висенте Муньос), “Наглядная топология” (Прасолов В.В.), “Познакомьтесь с топологией” (Саркисян А.А., Колягин Ю.М.), “Наглядная топология” (Болтянский В.Г.)
Ну а дальше, как мы и обещали вначале, рассмотрим материалы по неевклидовой геометрии. Сначала лучше всего прочесть одну из книг “Открываем неевклидову геометрию” (Силин А.В. , Шмакова Н.А.) или “Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии” (Жуан Гомес). В них вы узнаете о том, что кроме привычной нам плоской геометрии есть другие типы геометрии. Потом можете чуть глубже посмотреть по этой теме школьный учебник Прасолова и Тихомирова. Ну и наконец можно попробовать понять, что такое геометрия Лобачевского, используя книги: “Геометрия Лобачевского” (Атанасян Л.С.), “Элементарное введение в геометрию Лобачевского” (Норден А.П.), “О геометрии Лобачевского” (Смогоржевский А.С.)
Напоследок несколько книг по аналитической геометрии: “Аналитическая геометрия” (Виноградов И.М) в качестве вводной; “Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии” (Солодовников А., Торопова Г.); “Курс аналитической геометрии и линейной алгебры” (Александров П.С.)
Теория графов
Следующий большой раздел в математике, который является частью дискретной математики, — это графы. Книг по ним много, в том числе доступных для школьников. Для олимпиадников мы перечислили соответствующие книги. Теперь давайте углубимся в эту тему.
Здесь есть четыре книги с достаточно понятным для школьника изложением: “Графы и их применение” (Березина Л.Ю.), “Введение в теорию графов” (Р.Уилсон), “Графы и их применение” (Оре Ойстин), “Карты метро и нейронные сети. Теория графов” (Клауди Альсина)
И пятая книга для для студентов и школьников посильнее: “Теория графов” (Ф.Харари)
Рекомендуем начать с каких-нибудь двух книг попроще, а потом можно прочитать и Харари.
Дискретная математика
Что касается самой дискретной математики и её применения в информатике можно попробовать осилить книгу “Конкретная математика” (Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник). Второе её название – “Основание информатики”, да и сами авторы как раз много писали по теории алгоритмов. Книга со схожими акцентами – это “От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления” (Бизенц Торра). Это уже движение от математики в сторону теории алгоритмов.
Комбинаторный взгляд на дискретную математики можно изучить по книгам “Дискретная математика и комбинаторика” (Джеймс Андерсон) и “Искусство подсчета. Комбинаторика и перечисления” (Хуанхо Руэ). Во второй книге чуть больший упор сделан на историю и занимательную информацию.
В книгах по дискретной математике также есть части из математической логики. Например, в книгах “Дискретная математика без формул” (Соловьев А.) и “Булевы функции” (Марченков C.C.). Они могут быть также вводными и для математической логики.
Теория вероятностей и математическая статистика
В обычной жизни мы привыкли, что вероятность — это что-то интуитивно понятное. Бросаем монетку или кубик и что-то интересное там получаем. Но на самом деле это очень строгая и сложная наука. Как мы уже как-то говорили, в её основе лежит теория меры, а её просто так на пальцах трудно объяснить.
Есть три книги, которые пытаются максимально простым и понятным языком дать представление об основах настоящей науки, которая базируется на теории меры. Это “Элементарное введение в теорию вероятностей” (Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я.), “Введение в теорию вероятностей” (Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В.) и “Математика изучает случайности” (Кордемского Б.А.). Их вполне достаточно, что потом быть готовым к более строгому и формальному изложению этой теории в высшей школе.
Можно ещё посмотреть такие материалы: книгу “Школьнику о теории вероятностей” (Лютикас В.С.) и первые две книги из серии “Закономерности окружающего мира” (Тарасов Л. В.)
По статистике понятных и системных книг не очень много, т.к. для них нужно знать хотя бы основы теории вероятностей. Поэтому можем посоветовать только две книги: “Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики” (Пере Грим) и “Наглядная математическая статистика” (Лагутин М.Б.). Первая скорее относится к научно-популярной литературе, а вторая — просто хорошая книга по статистике для студентов и тех, кто использует статистику на практике.
Другие разделы
В конце упомянем по одной-две вводной книге с некоторыми важными темами высшей математики, которые доступны для интересующихся школьников:
Теория игр — “Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр” (Хорди Деулофеу) и “Игры и стратегии с точки зрения математики” (А. Шень)
Теория хаоса —“Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление” (Карлос Мадрид)
Теория меры — “Шар бесконечного объема. Парадоксы измерения” (Густаво Пиньейро)
Динамические системы — “Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики” (Эдуардо Арройо)
Теория сложности вычислений — “Существуют ли неразрешимые проблемы. Математика, сложность и вычисления” (Луис Ареан)
Теория кодирования — “Коды и математика” (М.Н. Аршинов, Садовский Л.Е.)
Аксиоматика — “Что такое аксиоматический метод?” (Успенский В.А.)
Плотная упаковка — “Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве“ (Тот Л.Ф.)
Фрактальная геометрия — “Красота фракталов” (Пайтген Х.-О. Рихтер П.Х.), “Повесть о двух фракталах” (А. А. Кириллов)