Несмотря на то, что текстовые задачи начинают изучать с первого класса, старшеклассники порой испытывают с ними трудности. Даже те школьники, которые раньше не имели с ними проблем, могут к экзаменам подрастерять свои навыки. Этому есть много причин. Например, то, что в старших классах их практически не решают и ученики просто забывают, как это делать.
Поэтому давайте остановимся на решении текстовых задачах подробнее и посмотрим их особенности. Сразу оговоримся, что эти советы будут полезны лишь для тех учеников, кто в целом умеет работать с текстовыми задачи. Для тех, кто решает их с помощью магии, эти советы будут наоборот только вредить. Мы ещё отдельно поговорим, как научиться решать текстовые задачи, если вы вообще в них ничего не понимаете.
Итак.
Следите за единицами измерения
Нельзя складывать две величины, одна из которых выражена в метрах, а другая в километрах. Нельзя умножать скорость, выраженную в км/ч, и количество затраченных минут. Чтобы правильно решить задачу, нужно все расстояния, всё время и другие показатели перевести в одну размерность.
Это, конечно, сложно сделать, если в задаче много разных единиц. Например, в есть часы, минуты, секунды, метры и километры. Здесь принцип следующий: отталкивайтесь от размерностей в скорости. То есть если ракета летит со скоростью 400 м/с, то всё переводите в метры и секунды. Если поезд едет со скоростью 50 км/ч, то лучше всё перевести в километры и часы.
Прибавляйте к меньшему
Часто возникают ошибки из-за того, что ученики не могут сразу догадываются, к какому числу нужно добавлять или из какого нужно вычитать. Чтобы понять суть проблемы рассмотрим четыре тренировочных задания.
Составьте равенства:
а) a больше b на 5;
б) скорость первого пешехода x и она на 5 меньше скорости второго (y км/ч)
в) число p в 4 раза меньше числа q
г) число n больше в 7 раз, чем число m
В таких отдельных примерах не должно возникать трудностей. Но если они вкраплены в текст задачи, то из-за невнимательности может возникнуть ошибка. Здесь лучше использовать следующий принцип составления: находим меньшее число и к нему прибавляем разницу, а в случае умножения – умножаем на меньшее.
Но здесь мы взяли примеры, который довольно очевидны. В реальных задачах порой явно не указано, что меньше, а что больше. И здесь нам на помощь приходит здравый смысл. Рассмотрим такую задачу:
Первая труба наполняет бак объёмом 600 литров, а вторая — бак объёмом 900 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 3 л воды больше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если баки были заполнены за одно и то же время?
Из условия сразу не понятно, к чему прибавлять. Но! Одна труба заполняет бак объёмом 900 л, а другая — объёмом 600 л. Время одно и то же, поэтому «производительность» (то есть скорость заполнения) у второй трубы меньше. Поэтому прибавляем разницу во времени к меньшему числу, то есть к производительности второй трубы.
Кстати, эта задача — хороший тест на понимание. Ведь её можно переписать иначе, заменив лишь одно слово:
Первая труба наполняет бак объёмом 600 литров, а вторая — бак объёмом 900 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 3 л воды меньше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если баки были заполнены за одно и то же время?
То есть магическое мышление не сработает. Было написано больше, а теперь меньше. Кажется, что изменение существенно и должно повлиять на решение. Ан нет. Нужно всего лишь включиться и понять задачу.
Рисуйте схемы/чертите таблицы
Текст задач сложно воспринимать в явном виде. Особенно, когда он большой. Чтобы помочь вашему воображению, переводите понятия текста в чертеж или в таблицу слов и чисел. Даже если вроде как всё понятно, лучше перестраховаться и сделать это. Это сильно облегчит жизнь и снизит страх перед задачей.
Аккуратно выбирайте неизвестную величину для уравнения
Чаще всего за неизвестное обозначают скорость, производительность или массу сухого вещества. В более общем случае, обозначайте то, что нужно найти. Это не всегда так, но в 95% случаях работает.
Не бойтесь вводить дополнительные переменные
Бывает так, что даже введения переменной не хватает для решения. Ну так введите ещё для других неизвестных величин! Иногда без этого задачу просто не решить. Например, такая задача:
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых домика. В первой бригаде было 7 рабочих, а во второй — 13 рабочих. Через 8 дней после начала работы в первую бригаду перешли 7 рабочих из второй бригады, в результате чего оба домика были построены одновременно. Сколько дней потребовалось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе.
Помимо очевидного обозначения за x производительности этих рабочих, можно дополнительно обозначить за T всё время, затраченное на постройку домика. В итоге получаем, что вторую часть домика построили за (T — 8) дней. И далее составляем уравнения.
В задачах с несколькими скоростями, часто удобно обозначить их все буквами. Это добавит дополнительных соотношений. Иногда нужно и весь путь обозначить буквой S, если он явно не прописан.
В некоторых задачах на производительность общую сделанную работу (или что-то подобное, вроде объём бассейна для вытекающей воды) можно также обозначить за A, которая потом сократится при решения уравнения. Часто для таких задачах в решебниках предлагают принять общую работу за 1, но ученики обычно этого не понимают. Действительно, почему мы неизвестную величину сделали равной единице?
Во всех этих задачах главное помнить, что количество введённых переменных должно быть равно количеству независимых уравнений.
Проверьте, всё ли учтено
Особенность задач на экзамене такова, что в условиях все данные есть и они обязательно влияют на решение. То есть это всё модельные задачи, отличные от реальной жизни. Кстати, во многих иностранных экзаменах есть задачи с недостатком или избытком данных. Но в нашем случае надо обращать внимание на всё, что есть в условии.
Пытайтесь угадать ответ
Составители текстовых задач (особенно в стандартизованных текстах) часто любят давать в ответах «красивые» (т.е. круглые целые) числа. И когда вы получили уравнение, попытайтесь сначала угадать корень. Здесь нет общих правил, просто попробуйте прикинуть ответ и подобрать подходящее значение. Например, для уравнения 2000 = x(x+10) можно легко найти ответ. Для дробно-рациональные уравнений тоже можно .
Что требуется в задаче?
Многие, получив корень уравнения, сразу пишут его в ответ. От этого часто бывают ошибки. Посмотрите, что вы обозначили за неизвестное и что просят найти по условию задачи. Например, вы за x обозначили скорость первого автомобиля, а нужна скорость второго. Или же вы всё нашли верно, но в конце условия задачи стоит приписка «выразите ответ в метрах», а вы посчитали в км. То есть нужно ещё дополнительно смотреть, в каких единицах измерения следует писать ответ.
Задавайте вопросы
Чтобы понять, что происходит в задаче, попробуйте своими словами пересказать, что там написано. Это техника, которой иногда учат в начальной школе, но в старших классах почти не уделяют ей внимания. Если трудно сразу пересказать, попробуйте в тексте выделить подлежащие и сказуемые и уже после этого попробовать рассказать задачу.
Проверяйте адекватность ответа
Может ли пешеход двигаться со скоростью 100 км/ч? Может ли ракета стартовать со скоростью 1,5 м/с? Может ли длина поезда быть 7 км? Проверьте, бывают ли такие значения, которые получились в ответе.
Прорешайте задачи арифметическим способом
В старших классах все методы решения задач основаны на алгебраическом методе, то есть на методе решения с составлением уравнения. Но это конечный этап эволюции таких задач. Чтобы привыкнуть к текстовым задачам, научитесь сначала решать простые задачи арифметическим способом. И так постепенно переходите уже к более продвинутым способам решения.