Магическое мышление неоднородно по своему содержанию и происхождению и часто зависит от контекста. Поэтому его можно разделись на три больших вида, которые основываются на чёрной, серой и белой магии.
Самая опасная магия — это чёрная магия. Под ней мы будем подразумевать некие псевдознания и псевдозакономерности, которые никак не связаны с реальным пониманием вещей. То есть через них принципиально невозможно понять суть явления или метода, а можно только зазубрить. Для изучения математики это становится путём на дно.
Чтобы лучше понять, как выглядит такая магия, расскажу историю из практики.
Когда в ЕГЭ только появились задачи с экономическим содержанием, не было общепризнанных методов решения задач, специальных пособий и практики работы с такими заданиями. Для одной своей ученицы я подобрал полтора десятка задач, которые мы на занятии совместно разобрали. Поначалу мне показалось, что девушка поняла, как их решать. На дом я со спокойной совестью дал ей задания для отработки. Следующее занятие мы начали с разбора того, что не получилось сделать самостоятельно. Практические во всех заданиях девушка получила правильные ответы, кроме, может быть, одного-двух. Но решения и обоснования, которые она дала, ввели меня в ступор.
Она обрадовала меня так:
- Роман! Всё, что мы в прошлый раз проходили, мы делали зря! Я не стала выводить формулы и вчитываться в условие. Я нашла более простую закономерность! Оказывается, что если в задаче кредит берёт женщина, то нужно использовать вот эту формулу, а если мужчина, то вот такую.
Не смотря на моё сильное недоверие, она на нескольких задачах продемонстрировала найденную “закономерность”. И практически во всех задачах оказалось всё именно так.
Конечно, мой здравый смысл взбунтовался, и я с ходу нашёл несколько примеров, где её наблюдения были ошибочны. Она с грустью приняла этот факт и согласилась всё-таки вникать в задачи и честно выводить формулы.
Но если вы думаете, что так легко отделаться от магического мышления, то вы просто не понимаете его разрушительную силу.
На следующее занятие она снова стала защищать свою магию, но уже дополнив её новыми наблюдениями. По её новой псевдозакономерности оказалось, что если имя мужчины, который берёт кредит, начинается с согласной буквы, то нужно использовать формулу, как для женщин, а если с гласной, то обычную формулу. Сейчас я уже не помню точно всей её рассуждательной ереси, но для тех, кто не знаком с математикой, её обоснования могли показаться убедительными. Но в тот момент я окончательно разозлился и сказал, что или она занимается таким шаманством с другим преподавателем, или всё-таки нормально выводит формулы согласно условиям задач.
Использование чёрной магии в математике может стать причиной серьёзных психических заболеваний. И это не шутка. Я встречался с запущенным случаем, когда приходилось готовить ученика к ОГЭ уже непосредственно в психбольнице. В более мягких формах такого рода магия воспитывает новых плоскоземельников и изобретателей “математики древних Русов”.
Суть серой магии в том, что ученик заучивает правильные алгоритмы и формулировки, но без их понимания. Таких заклинаний огромное количество: “Минус на минус даёт плюс...”, “Переносим отсюда туда со знаком минус...”, “Чередуем знаки на интервалах...”, “Умножаем крест-накрест...” и прочие. Часто такая магия срабатывает, если удалось её применить в правильном месте, но без понимания контекста использования она приводит к ошибкам. Большинство учеников в той или иной степени использует такую магию в своей учёбе. Отчасти это связано с объективными проблемами преподавания в школе, когда учителя не имеют возможности досконально объяснить материал, а вынуждены сразу переходить к алгоритмам решения.
Серая магия тоже вредна, но не так явно разрушительна, как чёрная. Её вред проявляется на длинной дистанции.
И наконец, белая магия. Несмотря на название, она не является какой-то «доброй» или «хорошей». Просто в школьной программе есть некоторые необоснованные допущения, на которые можно закрыть глаза. То есть нет ничего страшного в том, что вы не знаете, как доказать формулу Герона или пояснить, почему в параллелограмме диагонали на самом деле пересекаются (последнее — далеко не тривиальный вопрос, выходящий за рамки школьных знаний). То есть синоним белой магии — это скорее «допустимая» магия.
----------------------------
Чтобы лучше понять, как проявляется на практике различие между реальным пониманием, серой и чёрной магией, давайте возьмём тему «Тригонометрические функции от простейших углов». То есть значения sin x, cos x, tg x и сtg x для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Правильный подход к освоению этой темы — это честно вычислить значения тригонометрических функций через прямоугольный треугольник. То есть взять треугольники с углами 45°, 45°, 90° и 30°, 60°, 90° и по определению расписать все тригонометрические функции. Это требует некоторого времени и усилий. Также, конечно, нужно иметь базовые геометрические знания. Однако, это единственный путь, который даёт понимание, откуда взялись все эти значения.
Дальше чаще всего ученикам предлагают полученные результаты записать в таблицу. Это вполне разумный и безобидный шаг, если вы до этого поняли, как были получены эти значения.
Однако, именно в этот момент у многих учеников возникает соблазн использовать серую магию. Зачем стараться выводить значения, если можно просто выучить эту небольшую таблицу? И ученики заучивают её как стишок. Значений в ней не так много, поэтому отказ от реального понимания в пользу магии с точки зрения мыслительных затрат иногда выглядит даже обоснованным.
Но дальше могут возникнуть предсказуемые сложности. Если предыдущую таблицу с горем пополам ещё можно запомнить, то как быть, когда мы выйдем за пределы прямоугольного треугольника на всю тригонометрическую окружность?
У ученика возникает паника, и он может навсегда отвернуться от математики…
Но это ещё не самый страшный случай. Ситуация могла развиваться иначе. Школьник мог испугаться заучивать даже маленькую таблицу. В таком случае он просто бы не стал ничего делать или же стал искать обходные манёвры. И наткнулся бы на картинку в стиле «учителя скрывают как надо запоминать формулы»:
Это и правда очень забавная картинка. В ней подмечена случайная псевдозакономерность, что синусы самых популярных углов можно записать вот такой хитрой формулой. Но дело в том, что эта формула ровным счётом ничего не объясняет! Откуда квадратный корень в этой формуле? почему он делится пополам? можно ли её использовать для углов в 15° и 75°? как её вообще можно вывести? А ученик рад, что ему удалось всех перехитрить и вместо поиска значений или на худой конец вместо заучивания таблицы, он просто запомнил вот такую глупую магическую формулу.
Кстати, когда я однажды был на курсах по геометрии, учитель (!) именно так и предложил запоминать значения для тригонометрических функций. Конечно, через пару занятий у учеников началось предсказуемое: «ой, а я забыл какую руку использовать: правую или левую…», «а начинать нужно с нуля или единицы?», «блин, забыл квадратный корень написать…», «там синус или косинус должен быть?»
Одна из целей при изучении школьной математики — это безжалостное выкорчёвывание чёрной магии и постепенный переход от серой магии к пониманию. В идеале нужно стремиться развевать и белую магию, но это порой сложно делать, не выходя за рамки школьной программы.