Завершая наш разговор про околошкольную математику, обсудим её исследовательскую часть. Именно она является самой математичной из всех математик. В олимпиадных задачах есть правильный ответ и готовое решение. В вузе при изучении высшей математики по большей части просто даётся готовое описание моделей, которые придумали математики прошлого. В научно-популярной литературе чаще всего стараются простым языком рассказать про применение математики.
В исследовательской же математике нет готовых решений. Это открытые задачи, в которых ответ заранее не известен . Иногда в них даже не требуется окончательного ответа, а надо просто хотя бы немного приблизится к более точной оценке. В школе такие задачи практически не встречаются, т.к. ученики часто не владеют достаточным инструментарием для того, чтобы эти задачи решать. Да и школа всё-таки заточена больше на решение задач по заранее известным алгоритмам. Зато если вы занимаетесь открытыми задачами, то есть шанс получить какой-нибудь содержательный результат и с ним выступить, например, на научной конференции для школьников. Как таковых сборников, которые содержат разносторонние более-менее содержательные открытые задачи для школьников, мы не встречали. Многие открытые задачи можно получить, каким-либо более общим образом переформулируя олимпиадные задачи закрытого типа (т.е. имеющие готовое решение и ответ).
Теперь о книгах. Начать бы мы посоветовали с книги “Исследовательские задачи для начинающих” (Сгибнев А.И.). Там хорошо описана суть таких задач, есть некоторые примеры для обдумывания.
Ну а далее есть две группы книг. Первая – это абсолютная классика. Книги Д.Пойа: “Как решать задачу”, “Математика и правдоподобные рассуждения”, “Математическое открытие”. Они не заточены именно под школьников, но и сильные заинтересованные старшеклассники могут с ними ознакомиться. В этих группах книг описаны некие принципы, которые используют при решении своих задач профессиональные учёные.
Есть и вторая группа книг, где на примере решения некоторых доступных школьнику задач рассказывается как именно можно рассуждать при их решении. Это “Как научиться решать задачи” (Фридман Л. М., Турецкий Е. Н.), “Учись решать задачи” (Колягин Ю. М., Оганесян В. А.), “Математический аквариум” (Уфнаровский В.А.), “Числа и фигуры” (Ганс Радемахер, Отто Тёплиц), “Что делать, когда решить задачу не удается” (Финкельштейн В.М.), “От задачи к задаче — по аналогии. Развитие математического мышления” (Эрдниев О.П.). Мы не будем комментировать каждую отдельную книгу. Вы можете посмотреть каждую по оглавлениям и выбрать понравившуюся.
Ещё можно обратить внимание на книгу “Ошибки в математических рассуждениях”, где одним из авторов является Брадис В.М. (тот самый, который известен своими таблицами). В этой книге упор сделал на том, как не надо рассуждать при решении задач.