Все мы еще со школы помним знаменитый египетский прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5:
Но встаёт вопрос, а можно ли каким-либо простым способом научиться получать другие Пифагоровы тройки, и более того хотелось бы научиться получать вообще все возможные тройки. Ответ на этот вопрос - да, возможно и сейчас мы даже получим точные формулы для этого. Подставляя в полученные формулы все возможные целые числа мы получим вообще все Пифагоровы тройки. Приведём сразу эти формулы: для уравнения
решениями будут следующие тройки:
где s и t пробегают все целые числа.
Этот замечательный результат можно получать множеством различных способов, среди них есть и элементарные (но имеющие далеко идущие обобщения в проективной алгебраической геометрии), по типу параметризации единичной окружности: строим секущие под рациональными углами, идущие из уже найденной рациональной точки на окружности и смотрим на их точки пересечения с окружностью и с горизонтальной осью координат. Получается система уравнений из которой и находятся эти формулы.
Но здесь мы будем получать эти формулы совершенно другим способом, а именно как вы могли понять из названия мы будем пользоваться теоремой Гильберта 90. Этот метод самое что ни на есть "из пушки по воробьям", но иногда все-таки хочется пострелять по ним из этого орудия. Более того вывод заветных формул, следуя первому способу растянулся бы на страницу - две вычислений. Здесь же мы хотим привести концептуальное доказательство в несколько строчек.
(Дальнейший текст не математикам, возможно, понять будет труднее, но тем не менее это поистине красиво и заслуживает вашего внимания)
Итак, для начала вспомним о чем нам говорит эта теорема.
Теорема (Гильберта 90) Пусть L/K расширение полей с группой Галуа G, тогда первые когомологии Галуа с коэффициентами в мультипликативной группе L* тривиальны:
Но нам потребуется следствие из этой теоремы, которое принято называть так же:
Теорема (Гильберта 90, альтернативная формулировка) Пусть L/K циклическое расширение полей с группой Галуа G и пусть g её образующая, тогда норма любого элемента b ∈ L N(b) равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент a ∈ L, что b=a/g(a).
Для нашей задачи возьмем в качестве поля K рациональные числа ℚ, а в качестве его расширения L= ℚ (i), где i - мнимая единица. Поделим наше уравнение на правую часть, то есть на c^2. Тогда наша задача свелась к отысканию рациональных точек на окружности
Итак наше расширение ℚ (i) / ℚ это квадратичное расширение, его группа галуа G состоит из двух элементов: тождественного и сопряжения. Возьмём произвольный элемент единичной нормы y=a+ib, то есть для него будет выполняться уравнение
По теореме Гильберта 90 для такого элемента найдется элемент z, что
запишем z как s+it, тогда
осталось разделить вещественную и мнимую части:
и домножить на знаменатели. Таким образом мы получили заявленные формулы.
Читайте наши следующие математические статьи и вы обязательно узнаете что-нибудь новое и интересное. (: