Всем привет! Предлагаю вам решение задачи, опубликованной в предыдущем посте. Как всегда с необходимыми идеями и наблюдениями для решения.
Напомню условие
У решения этой задачи есть два ингредиента. Первый, на мой взгляд, самый важный, обусловлен одновременным наличием на картинке ортоцентра треугольника H и середины стороны M. Более того, в задаче есть прямая HM и описанная окружность треугольника. Все это крайне важно по следующей причине. Если отразить точку H относительно точки M, то результат попадет на описанную окружность, поскольку угол BHC, как угол между высотами, дополняет угол A до 180 градусов. Кроме того, полученная точка (давайте назовем ее H') такова, что четырехугольник BHCH' является параллелограммом. Следовательно, прямая H'C параллельна прямой BH и перпендикулярна прямой AC, то есть точка H' является диаметрально противоположной для точки A на описанной окружности треугольника ABC.
Поэтому достаточно доказывать перпендикулярность прямых AN и HM. И тут на помощь должна прийти наблюдательность. Дело в том, что эти две прямых идут по медианам подобных треугольников PAQ и CHB (отмеченные на рисунке равные углы дополняют углы треугольника B и C до прямого). У этих двух треугольников соответственные стороны перпендикулярны (то есть они отличаются поворотом на 90 градусов и растяжением), следовательно и соответственные медианы этих треугольников тоже перпендикулярны.