В видео, где Егор Крид решал уравнение, при монтаже исчез один важный нюанс.
В начале решения он должен был как-то заметить, что выражение 4x²+12x+9 является полным квадратом и свернуть его. Как это сделать? Математически подкованные школьники могут удивиться самой постановке вопроса. Для них это вполне очевидно. Однако, обычные среднестатистические ученики тоже удивятся, но совершенно другому. Как можно было так легко разглядеть здесь полный квадрат? Что это: интуиция, талант или какая-то магия?
На самом деле ничего из вышеперечисленного. Здесь применяется относительно простой алгоритм проверки и, конечно, многократный опыт его использования.
Давайте разберёмся.
Возведение двучлена в квадрат - это довольно лёгкая процедура. Например, её можно проводить в лоб, просто перемножая две одинаковые скобки. Ещё легче это сделать, используя знакомую формулу a²+2ab+b².
Обратную операцию в школе тоже проводят, но не так часто. Называется она «выделение полного квадрата». Потребность в ней возникает, когда из квадратного трёхчлена хотят выделить два слагаемых: сам полный квадрат двучлена и оставшееся «лишним» слагаемое. Ну а дальше исследуют эту конструкцию, например, на минимум или максимум. Через такое выделение полного квадрата также можно придти к обоснованию формулы дискриминанта, что в школе в теории и делают. И для этого есть вполне чёткий алгоритм. Не будем вдаваться в подробности и предъявлять его здесь.
Но нам в реальных задачах чаще всего нужно действовать по-другому. Редко когда нужно выделять полный квадрат по такой схеме. Обычно достаточно убедиться, что перед нами точный квадрат. А это другая задача!
Суть отличия можно пояснить на следующем примере. Если при решении квадратного уравнения, вы получили дискриминант, равный 7435, то не надо сразу бросаться извлекать квадратный корень из него. Сперва желательно проверить, 7435 — это точный квадрат или нет? И одна из мгновенных проверок показывает, что нет. Квадрат целого числа не может оканчивается на 35. Такое предварительное действие сильно экономит ваше время и практически не требует усилий.
Схожую проверку можно делать и для квадратного трёхчлена. Пусть он имеет вид ax²+bx+c.
- Сначала смотрим на первый коэффициент и на свободный член. Если они оба полные квадраты, то перед нами потенциальный квадрат и нужно переходить ко второму пункту. Если хотя бы один из них не является точным квадратом, то прекращаем проверку. Перед нами не точный квадрат, и нужно искать другие пути решения.
- Если первый пункт прошёл успешно, извлекаем корень из первого коэффициента, потом из свободного члена. Перемножаем полученные числа и домножаем на 2. Если результат равен коэффициенту b или —b, то перед нами полный квадрат двучлена. Можно его собрать и посмотреть, как это повлияет на решение исходной задачи.
Развернутое текстовое описание этих операций выглядит довольно громоздким, но по отдельности каждая из них элементарна. И вся цепочка действий выполняется мгновенно. Вам достаточно знать лишь целочисленные квадраты и уметь их перемножать. Как только вы привыкнете к этому алгоритму, вы будете мгновенно делать подобные расчёты в уме. А чаще всего просто будете узнавать полные квадраты. Например, конструкции вида 4x²+4x+1 или x²+2x+1 встречаются очень часто.