Как вы думаете, какой самый популярный русскоязычный видеоролик с разбором школьной задачи? Как ни странно, это не видео с какого-то известного математического образовательного канала. Это не топовый видеоурок для подготовки к ЕГЭ. Его автор даже не популярный блогер-репетитор.
Если бы существовала премия за продвижение школьной математики в массы, её можно было бы смело вручить Егору Криду. Его ролик с решением довольно сложного уравнения посмотрели больше 3500000 человек! Понятно, что дело вовсе не в особенности задания, а в ученике у доски. Однако, нас интересует то, как именно Егор решил это задание.
Чтобы понять, о чём мы будем вести речь ниже, пройдите по ссылке и посмотрите это двухминутное видео.
А мы пока воспользуемся скриншотом с решением и попробуем параллельно ещё раз разобрать задачу.
Итак, перед нами уравнение:
В лоб его не решить: если раскрыть скобки, то мы получим уравнение 4 степени, которое сведётся к поиску корней по теореме Безу. Это слишком трудозатратно. Попытка разложить левую часть как разность квадратов тоже ни к чему не приведёт, поэтому разумно пробовать действовать по-другому.
И действительно, Егор далее преобразует правую часть уравнения, превращая трёхчлен в скобках в полный квадрат.
Этот шаг обычно довольно труден для неподготовленного ученика. Из-за монтажа, мы не видим, как Егор догадался до этого преобразования. Однако, судя по контексту и по фразе учителя в конце ролика (прислушайтесь к её словам 😊), скорее всего Егор не сам до него додумался.
Дальше идёт замена, про которую довольно легко сообразить, если уметь решать биквадратные уравнения. Здесь Егор чуть запнулся, но возможно догадался бы и без подсказки.
Итак, после замены и небольшого преобразования наше уравнение превратилось в обычное квадратное:
Обратите внимание на следующее: Егор решает его не через дискриминант (на доске нет соответствующей записи). Он сразу выписывает корни! То есть использует один из самых эффективных приёмов решения квадратного уравнения: через соотношения между коэффициентами. Коэффициенты этого уравнения связаны соотношением a — b + c = 0, поэтому корень —1 находится сразу, а второй — с использованием теоремы Виета. Это довольно просто, поэтому можно сделать устно. Корень —1 для дальнейшего решения не походит, т.к. он меньше нуля и не удовлетворяет условию-ограничению для замены.
Ну а дальше проводим обратную замену для второго корня
и наше уравнение распадается на два. Каждое даёт нам по одному корню
В целом при хорошей математической подготовке такая задача не должна вызывать трудностей, хотя при первой встрече с ней она может вызвать некоторое смятение. Особенно это касается свёртки квадратного трёхчлена в полный квадрат. Об эффективном методе такой свёртки мы поговорим отдельно.