В прошлой статье мы рассказали про один эффективный способ проверки вычислений: через свойство остатков от деления на 9.
Традиционный способ поиска таких остатков довольно прост. Вы берёте все цифры числа и складываете. Для полученного результата (чаще всего это двузначное число) ищете остаток от деления на 9. Он и будет искомым.
Например, у вас получилось число 5638269. Мы намеренно берём большое число, чтобы проиллюстрировать все тонкости. В реальности на экзамене такое страшное число вряд ли появится.
Посчитаем сумму его цифр: 5 + 6 + 3 + 8 + 2 + 6 + 9 = 39. Остаток от деления 39 на 9 равен 3.
Кстати, мы могли найти этот остаток не делением, а продолжив складывать цифры, пока не получим однозначное число. Оно и будет остатком.
5 + 6 + 3 + 8 + 2 + 6 + 9 = 39 → 3 + 9 = 12 → 1 + 2 = 3.
Конечно, складывать цифры проще, чем напрямую делить 5638269 на 9. Однако, и такой способ в реальности никто не использует.
Обычно на практике применяют более продвинутый алгоритм: «вычёркивание девяток». Он основан на том, что вам не обязательно считать окончательную сумму цифр числа. Вам ведь достаточно найти остаток от деления этой суммы на 9. Поэтому можно смело избавляться от девяток в этой сумме, а также от тех цифр, комбинации которых в сумме дают 9 или другое число делящееся на 9.
Рассмотри то же самое число и выпишем его сумму цифр:
В реальности перед глазами у вас будет не сумма цифр, а просто само число. После приобретения устойчивого навыка, вычеркивать вы тоже будете не в тетради, а сразу в уме. А сейчас в статье нам важна больше наглядность алгоритма.
Итак, девятку можно сразу вычеркнуть, т.к. она не влияет на результат.
Также можно одновременно вычеркнуть цифры 6 и 3, т.к. они в сумме дают 9, что в итоге также не влияет на результат.
Можно не просто вычеркивать, а заменять некоторые суммы цифр на остатки их деления на 9. Например, 5 + 8 + 6 = 19 легко даёт остаток 1 при делении на 9. Поэтому можем заменить эту сумму на 1.
Осталось простое последнее действие: сложить 2 и 1, которые дадут нам остаток 3.
Вычеркивание следует проводить, опираясь на удобство подсчёта. Например, в приведённом примере в последнем действии для оставшейся суммы 5 + 8 + 2 + 6 можно сгруппировать слагаемые по-другому. Например, 8 + 2 = 10 (удобно, что 8 и 2 находятся рядом) → 1, а 5 + 6 = 11 → 2. В итоге, также получаем 1+2 = 3.
Само собой при первом знакомстве с такой техникой, она может выглядеть немного запутанной. Но если разобраться и начать ей пользоваться, то можно очень эффективно находить ошибки в своих расчётах. Все эти мелкие операции будут малозатратны для вашего мозга, а результат применения может быть значительным.
В качестве примера рассмотрим ситуацию, которая произошла на реальном занятии буквально несколько дней назад.
Ученик решает квадратное уравнение: x² + 15x — 36 = 0
Дискриминант равен 15² + 4 · 1 · 36. Ученик вычисляет его и получает в результате 379.
И можно мгновенно показать, что у него ошибка.
3 · 5 = 15, поэтому 15² делится на 3², то есть на девять. 4 · 1 · 36 делится на 9, т.к. 36 делится на 9. В итоге дискриминант должен делится на 9.
Посмотрим теперь на результат ученика. В числе 379 девятка не влияет на остаток (мысленно её вычеркиваем), а 3 + 7 = 10, не делится на 9. То есть где-то в вычислениях у него ошибка. Как потом выяснилось, он просто описался при сложении столбиком.