Как проверить правильность вычислений? Неужели для этого придётся заново перерешивать всё задание или пошагово проверять все выкладки? Это отнимает слишком много времени, а оно на экзамене бесценно. Если мы в целом стараемся максимально эффективно решать задачи, то и для проверки результатов мы тоже должны найти наиболее удобный способ.
Давайте разберём некоторые из таких способов. Все они не гарантируют, что полученный ответ будет на 100% правильным. Иначе этот способ мы бы просто использовали в качестве решения. Но каждая такая положительная проверка увеличивает вероятность того, что вы получили правильный ответ.
Итак, мгновенные проверки вычислений:
🗝️ Проверка по последней цифре
Если у вас есть какие-то длинные математические вычисления, вы всегда можете посмотреть, как себя будет вести последняя цифра. От каждого числа оставьте лишь последнюю цифру и проведите все те же самые расчёты. Полученная последняя цифра этих дополнительных вычислений должна будет совпадать с последней цифрой первоначального результата.
Пример: вычислили 185 · 97 + 381 · 13 и получили 22689
185 · 97 + 381 · 13 → 5 · 7 + 1 · 3 = 38. Последняя цифра должна быть 8, а у нас получилась 9. То есть где-то в вычислениях мы ошиблись.
Частный случай использования такого подхода можно рассмотреть на примере точных квадратов. Квадрат любого числа может оканчиваться только цифрой 0, 1, 4, 5, 6, 9 (потому что на эти цифры заканчиваются квадраты однозначных чисел). Если при возведении во второю степень вы получили на конце другую цифру, то у вас точно ошибка.
Но для точных квадратов можно провести более интересную мгновенную проверку. Если смотреть на две последних цифры точных квадратов, то можно обнаружить следующие закономерности:
- Если последняя цифра квадрата равна 5, то предпоследняя всегда равна 2.
- Если последняя цифра квадрата равна 0, то предпоследняя всегда тоже равна 0.
- Если последняя цифра квадрата равна 1, 4 или 9, то предпоследняя цифра всегда чётная.
- Если последняя цифра квадрата равна 6, то предпоследняя цифра всегда нечётная.
То есть, если после возведения в квадрат, вы получили число, оканчивающееся на 35, 60, 71 или 26, то у вас точно где-то ошибка.
Метод проверки по последней цифре довольно легко использовать на практике, но и ученики не так часто допускают такую оплошность.
🗝️ Приближённые вычисления
Смысл такой проверки состоит в том, что вы проводите те же самые вычисления не с самими числами, а с удобными и близкими к ним. Обычно это числа, округлённые до сотен или десятков. Такая предварительная оценка поможет избежать ошибок, если первоначальный результат получился на порядок больше или меньше. Но даже если расхождение с ответом получились в несколько раз, то это повод задуматься.
Пример: вычислили 78 · 564 и получили в результате 12942.
Округлим: 78 ≈ 80, а 564 ≈ 550. Получаем 78 · 564 ≈ 80 · 550 = 44000. Слишком большое расхождение с полученным изначально результатом. Значит, у нас ошибка.
Кстати, в данном примере точный ответ 43992. То есть мы почти в него попали приближёнными вычислениями. Но это скорее удачное совпадение. Обычно расхождение всё-таки чуть больше и в среднем может составить до 20%. Точно сказать нельзя, т.к. это зависит от того, в какую сторону вы округляли и насколько сильно.
Приблизительные вычисления хорошо работают, когда вы случайно написали где-то лишнюю цифру или, наоборот, забыли её. Кстати, в быту это самый полезный способ подсчёта, т. к. позволяет прикинуть примерный результат. Это также позволяет его легко натренировать в повседневности.
🗝️ Использование свойств делимости
Эта проверка особенно хорошо подходит для умножения. Основана она на том, что если один из сомножителей делится на какое-либо число, то и результат тоже будет делится на это число. Чаще всего проверяют делимость на 9. Она удобна тем, что относительно проста в использовании (признак делимости числа на 9: делимость на 9 суммы всех цифр этого числа).
Пример: вычислили 45 · 728 и получили в результате 32860. 45 делится на 9, а 32860 нет (т.к. 3 + 2 + 8 + 6 + 0 = 19 не делится на 9).
Для продвинутых вычислителей можно применить более сильный метод и поработать с остатками от деления на 9. Смысл такой тонкой проверки состоит в том, что вы проводите вычисления не с самими числами, а с их остатками от деления на 9. В итоге остаток от деления на 9 нового результата должен совпадать с остатком от деления на 9 проверяемого результата.
Пример: вычислили 785 · 67 + 381 и получили 51976
Остатки от деления на 9: 785 → 2, 67 → 4, 381 → 3
Поэтому остаток от деления на 9 выражения 785 · 67 + 381 → 2 · 4 + 3 = 11 → 2
Остаток для числа 51976 → 1
Остатки 2 ≠ 1, поэтому ответ неверный.
Кстати, проверка по последней цифре — это тоже использование остатков от деления, только не на 9, а на 10. В принципе, так можно проверять для любого делителя. Например, для разнообразия можно попробовать тот же самый подход для числа 11, если вы хорошо помните его признак делимости и умеете его применять.
Из всех типов проверки использование свойств делимости на 9 выглядит очень громоздким, поэтому его всегда недооценивают. Однако этот метод весьма действенный. Дело в том, что остаток от деления числа на 9 можно быстро найти, если использовать одну особенность. О ней поговорим в следующей статье.