Мало просто научиться применять эффективные способы решений квадратных уравнений. Необходимо соблюдать ещё некоторые правила, чтобы знать все тонкости применения этих приёмов и не совершать случайных ошибок. Мы собрали такие правила в отдельный список.
☝ Сокращайте.
Самое простое правило, которое большинство учеников соблюдает. Если у коэффициентов квадратного уравнения есть общий множитель, то на него нужно сократить:
В противном случае можно глубоко закопаться при решении первоначального уравнения.
☝ Переставьте слагаемые в порядке понижения степени.
Иногда старшеклассники получают после преобразований полное квадратное уравнение, но при этом одночлены расположены не в порядке убывания их степени. Например, вот так:
Дальше ученик, понадеявшись на свой могучий ум, решает это уравнение. Рассуждает он так: «Чему равны коэффициенты a, b, и c и так видно без перестановки. Я лучше не буду тратить время на переписывание и сразу посчитаю дискриминант». Интересно, что памяти обычно хватает, чтобы нормально посчитать дискриминант. Но когда дело доходит до корней, ученик забывает, что трёхчлен слева у него не переставлен, и стабильно путает коэффициенты. Это приводит к неправильному решению.
Чтобы этого не происходило, достаточно сделать перестановку:
В таком виде уже можно решать любым удобным способом.
☝ Домножьте на минус один.
Получив квадратное уравнение в таком виде:
ученики резво начинают его решать через дискриминант. В принципе, при последовательном применении алгоритма ошибок не должно быть. Однако, довольно часто вмешивается человеческий фактор. При отрицательном первом коэффициенте ученики часто забывают про знак «минус» и получают ошибочные корни. Чтобы перестраховаться, достаточно домножить уравнение на –1, и получить положительный коэффициент при x²:
Вот такое уравнение гораздо приятнее решать.
☝ Используйте целочисленные коэффициенты.
Рассмотрим уравнение:
Не стоит бросаться в решение с головой и сразу начинать считать дискриминант. Наверняка, в конечном счёте у вас всё получится, но всё же стоит упростить себе задачу. Дробные коэффициенты очень неудобны, поэтому от них надо постараться избавится. Для этого нужно домножить уравнение на подходящее число. В примере выше нужно домножить на 5. Но судя по нашему опыту, ученики не сразу это делают. Чаще всего они домножают на 10, а потом, заметив, что все коэффициенты чётные, сокращают на 2 (см. первое правило).
Получается вот такое удобное уравнение:
☝ Применяйте эффективные способы решения.
В прошлой статье мы рассмотрели несколько способов решения квадратного уравнения. Однако, несмотря на их высокую эффективность, большинство учеников их не применяет, даже когда о них знает. Эти приёмы остаются лишь забавными фокусами, которыми можно удивить друзей.
Чтобы реально овладеть этими методами, мало про них просто прочитать. Их нужно многократно использовать. Вместо этого даже вне стрессовой ситуации (например, во время подготовки к экзаменам) ученики решают неэффективными, но хорошо им знакомыми приёмами. Происходит закрепление неэффективных шаблонов. Из такой петли слабых решений необходимо вырываться через практику. После изучения новых методов, старайтесь сразу пробовать их применять.
Отметим, что это правило действует только во время подготовки, то есть когда вы только учитесь новым приёмам. На самом же экзамене нужно выбирать самый эффективный способ лишь из тех, которые вы освоили. Там уже опасно применять новомодные приёмы решения, если не выработали навык их использования.
☝ За 10 секунд не решили устно — считайте письменно.
Часто ученики «подвисают», пытаясь решить какое-нибудь уравнение сразу в уме. Это похвально, но если вы ищете корень больше 10 секунд, это значит одно из двух. Либо вы пока не до конца освоили этот метод, чтобы решать его в уме, и лучше пока записывать вычисления. Либо вы недооценили задачу и нужно использовать другой метод. Например, второе бывает, когда ученик пытается подобрать корни через теорему Виета в уравнении, у которого иррациональные корни.
☝ Не спешите перемножать числа в дискриминанте.
Даже решение очень страшного уравнения можно упростить, не кидаясь сразу вычислять значение дискриминанта. Нас ведь интересует не он сам, а квадратный корень из него. Рассмотрим пример:
Обычно его начинают решать так:
Мало того, что при расчётах появились неприятные четырёхзначные числа, так дальше нам ещё нужно извлечь корень из полученного числа! Всё это довольно трудоёмко.
Проще решать задачу иначе. Не перемножать, а постепенно вычленять из дискриминанта множители-полные квадраты:
Можно было бы и из последней скобки вычленить полный квадрат, но уже и так понятно, что 196 — это полный квадрат.
☝ Используйте теорему Виета для проверки корней.
Обычно теорему Виета используют для подбора корней. Но на самом деле у неё есть ещё одно полезное применение. Как только вы каким-либо способом получили корни их всегда можно дополнительно легко проверить. По теореме Виета, если корни верные, то их произведение будет равно свободному члену, делённому на первый коэффициент, т.е. c/a.
☝ Задумайтесь, если коэффициенты иррациональны.
В подавляющем большинстве примеров квадратные уравнения имеют целочисленные коэффициенты. Если они дробные, то их всегда можно (и нужно!) привести к целым. Однако, при вычислениях может получиться, что какой-то из коэффициентов нерациональный. Если такое случается, то скорее всего при обратной замене переменной. И это подозрительно. Нужно ещё раз перепроверить предыдущие вычисления. В очень редких случаях (если экзамены высокого уровня) бывает, что так и было задумано. Но в реальности скорее всего до этого была сделана ошибка.