Обычно старшеклассники довольно успешно справляются с решением квадратных уравнений через стандартный алгоритм с дискриминантом. Но если мы хотим научиться решать их эффективно, то необходимо знать и другие возможные способы решения.
Пусть у нас есть квадратное уравнение:
Первый способ решения самый логичный: найти корни через дискриминант. Для этого есть известный алгоритм и нужно просто явно воспользоваться формулами.
Способ безальтернативен, когда получаются иррациональные корни.
Второй способ: применить похожий алгоритм, но уже используя так называемый «сокращенный» дискриминант. Он более удобен, но подходит только для чётного второго коэффициента (точнее, когда можно выделить множитель 2 из второго коэффициента). Вычисления будут проще, т.к. дискриминант станет в 4 раза меньше.
Этот способ желательно знать. Если использовать обычный дискриминант при чётном втором коэффициенте, то потом приходится вытаскивать множитель 4 из-под корня для дискриминанта и сокращать дробь на 2. По сути это всё равно через пару преобразований приводит к сокращённой версии решения.
Третий способ: использовать теорему Виета. Если корни существуют, мы знаем, чему равны их сумма и произведение.
Далее мы находим корни подбором, решая указанную систему. Обычно их подбирают, отталкиваясь от произведения. Ведь гораздо проще раскладывать на целые множители, чем разбивать на слагаемые.
Можно модифицировать подбор для случая, когда квадратное уравнение является приведённым (то есть первый коэффициент равен 1). Сначала нужно найти делители свободного члена и постепенно, начиная с самого маленького, подставлять их в уравнение. Если при каком-то из них квадратный трёхчлен обратится в 0, то это число и будет одним из корней. Второй корень легко находим, разделив свободный член на первый корень.
Для использования этого метода нужно знать, что такое теорема Виета, и иметь обширную практику применения. Только тогда данный способ будет быстрее нахождения дискриминанта. Но и здесь есть ограничения в использовании. Во-первых, не всегда получается быстро подобрать корни; во-вторых, этот способ на практике не работает, когда корни иррациональные.
Четвертый способ следует из третьего: использовать особые свойства коэффициентов. Те, кто учится в математических классах, наверняка знают, про красивые соотношения между коэффициентами квадратного уравнения и корнями 1 и –1:
Однако, во-первых, этот способ надо чётко понимать и применять его без ошибок, а во-вторых, его далеко не всегда можно использовать. Но составители задач часто ленятся придумывать новые квадратные уравнения и пользуются указанными соотношениями.
Ученики часто воспринимают как магию этот способ решения. Но на него можно взглянуть и с другой стороны. Попробуйте подставить числа 1 и –1 вместо корней, и проверить, обращается ли квадратный трёхчлен в 0. Если да, то один из корней вы нашли, а второй корень находите по теореме Виета.
Пятый способ: выделение полного квадрата. Этот способ в школьной программе используют как предварительный перед тем, как познакомить школьников с решением через дискриминант. На практике для постоянного использования он не очень хорошо подходит (в общем случае через дискриминант проще). Однако, в случае, когда квадратный трёхчлен – это полный квадрат, нет смысла использовать другие способы. Надо просто свернуть его и устно решить уравнение. Например,
Корни (точнее, корень) находятся мгновенно в отличие от решения через дискриминант.
Шестой способ: метод переброски старшего коэффициента.
Пусть у нас есть уравнение вида:
Для начала решим не его, а уравнение такого вида:
Решаем его любым удобным способом. Полученные корни делим на а. В итоге, получим корни исходного уравнения.
Например,
Седьмой способ: знать ответ. Бывает, что вы прорешали так много квадратных уравнений в разных вариациях, что уже просто ЗНАЕТЕ ответ для некоторых из них. Например, уравнение встречается настолько часто, что корни уже можно выучить. Целенаправленно заучивать корни глупо, но когда это получается автоматически, можно применить и такой способ.
При одинаковом владении каждым из способов наиболее эффективной является следующая последовательность их применения:
- сначала пробуем разглядеть в трёхчлене полный квадрат;
- потом смотрим на зависимости между коэффициентами;
- затем смотрим на второй коэффициент и, если он чётный, решаем через «сокращенный» дискриминант;
- наконец, если указанные методы не сработали, решаем по стандартному алгоритму через дискриминант.
Это самый общий алгоритм, но если вы владеете в совершенстве методом переброски старшего коэффициента или теоремой Виета, то можете их использовать до использования дискриминанта.
Кстати, у теоремы Виета есть одно полезное применение, которое гораздо продуктивнее, чем её использование для подбора корней. Об этом поговорим в следующей статье.