В прошлой статье мы показали основное отличие продвинутого уровня геометрии от школьного. Неизбежно возникает вопрос: “А можно ли где-то найти список таких ключевых методов и конструкций?”.
Само составление такого списка — не новая проблема. Каждый составитель сборника планиметрических задач как-то их систематизирует, исходя из своего видения предмета. Для примера можете посмотреть на какие главы разбита самая популярная книга для подготовки “Геометрия. Задача 16” (Гордин Р.К.). Любое такое авторское разбиение — это попытка найти “царский путь” в геометрии для поступающих в вузы. Но такого пути нет, поэтому и нет идеального сборника для подготовки. Однако, можно попробовать сделать некоторые обобщения.
Ниже мы перечислим основные методы и конструкции, которые встречаются в планиметрии продвинутого уровня. Их можно использовать для составления своего плана проработки. Несмотря на то, что список довольно большой, он не может быть полностью исчерпывающим и удовлетворять всем запросам. Каждый преподаватель, также как и каждый абитуриент, скорее всего возьмут из этого списка что-то своё или, наоборот, от чего-то лишнего избавятся.
- Медиана в прямоугольном треугольнике.
- Удвоение медианы.
- Середины сторон четырехугольника; параллелограмм Вариньона.
- Параллельные прямые, пересекающие стороны угла; отношение отрезков; теорема Фалеса.
- Трапеция: уникальные приёмы работы с ней и дополнительные построения (+ особенности работы с равнобедренной трапецией)
- Касательные и секущие различного рода.
- Свойства пересекающихся хорд.
- Углы, связанные с окружностью (между хордами, между секущими, между секущей и касательной).
- Свойства биссектрисы угла треугольника.
- Площади треугольников, на которые четырехугольник разделен диагоналями.
- Угол между биссектрисами внутренних и односторонних углов.
- Соотношения в прямоугольном треугольнике. Свойства высоты в прямоугольном треугольнике.
- Отношение площадей подобных треугольников.
- Пересекающиеся окружности.
- Непересекающиеся окружности. Две окружности и их общие касательные.
- Концентрические окружности.
- Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту.
- Двойной подсчёт площади. Поиск высоты или биссектрисы в треугольнике.
- Вспомогательные подобные треугольники. Второй признак подобия треугольников.
- Теоремы Чевы и Менелая.
- Высоты и точка их пересечения. Треугольник, две высоты треугольника и вершина.
- Использование площади четырёхугольника.
- Окружности, связанные с треугольниками. Вписанная, описанная, вневписанная.
- Расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной (+ площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности; вписанная окружность в прямоугольном треугольнике;
- Окружности, связанные с четырёхугольниками. Вписанная, описанная.
- Теорема синусов.
- Касающиеся окружности.
- Средняя линия трапеции и треугольника.
- Решение треугольников.