Экспертный уровень изучения геометрии соответствует уровню серьезных олимпиад по математике. Это уже больше движение в сторону науки или по крайней мере за рамки стандартного вузовского отбора. Тут выбор литературы зависит от целей, от текущего уровня знаний ученика и от уровня наставника и его специальности. Школьникам невероятно сложно освоить экспертный уровень самостоятельно. Обычно уже в средней школе самых сообразительных собирают в различные математические классы или кружки и с ними дополнительно работают специальные педагоги.
У каждого преподавателя свой подход к подаче такой экспертной математики. Очень редко используется какой-то один учебник или сборник. Чаще всего они сами делают подборки задач, компилируя их из нескольких источников. Иногда даже для каждого ученика персонально разрабатывают свои траектории развития. Давайте обсудим, как можно сделать почти невероятное — самостоятельно освоить этот высочайший уровень.
Для начала вам нужно хорошо знать планиметрию вплоть до продвинутого уровня. Т.е. вы должны в целом как-то уметь решать задачи из ЕГЭ и простых олимпиад. Пусть не 100%, а хотя бы половину таких задач. Для поступления в вуз его может не хватить, но для начала освоения экспертного уровня — вполне.
Потом, прежде чем приступать к серьёзной литературе, вам желательно проработать переходные подготовительные материалы. Это нужно, чтобы снизить стресс и сделать плавным переход от предыдущего уровня. Эти материалы являются расширением школьного и продвинутого уровня и довольно удобны для самостоятельного освоения:
- “Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики.” (Бутузов В.Ф., Кадомцев С.В. и др) поможет вспомнить все темы школьной геометрии, рассмотрев их чуть под другим углом.
- “Альтернативные способы решения задач (Геометрия)” (И. Кушнир). Много разных способов доказательства известных теорем с плавным переходом к теоремам вне школы.
- ”Полифония доказательств” (В. Мадер). По структуре книга похожа на предыдущую. Содержит невероятное количество разных доказательств уже знакомых теорем. Много доказательств привычных тригонометрических формул, но с использованием элементарной геометрии.
- “Вписанные углы” (Блинков Ю.А., Горская Е.С). Начинается с простых заданий, доступных обычным школьникам и заканчивается всё точкой Микеля и антипараллельностью. Книга написана в первую очередь для руководителей математических кружков, но и продвинутые школьники тоже могут её использовать.
- “Геометрические задачи на построение” (Блинков А.Д., Блинков Ю.А.). Хорошая вводная в этот класс задач.
- “Сборник геометрических задач на построение” (Александров И.И.). Более серьезная и обширная книга на эту тему.
- Пифагория_60, Пифагория_90 и особенно Евклидия. Три приложения, которые развивают планиметрические навыки. Хорошо использовать в общественном транспорте или когда у вас есть свободных 5-10 минут, чтобы порешать какой-либо пример.
- И наконец, последние две книги, предваряющие экспертный уровень: “Решение задач повышенной сложности 7-9" (Прасолов В.В.) и “Уроки геометрии в задачах, 7-8 классы” (Волчкевич М. А.). Это сборники задач школьного уровня и чуть выше.
Теперь о материалах более серьезного уровня:
📖 В первую очередь это пособие “Элементарная геометрия. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости” (Понарин Я.П.). Важно, что в этой книге перед каждой темой есть разбор теории и пары задач для примера. Это огромный плюс для самостоятельного решения задач.
После неё можно посмотреть различные книги, по-разному затрагивающие комплексы тем экспертного уровня. Из них можно выбрать те, которые больше соответствуют вашему вкусу:
📖 “Задачи по планиметрии и методы их решения” (Готман Э.Г.)
📖 “Уравнения, тождества, неравенства при решении геометрических задач” (Готман Э.Г.)
📖 “Свойства геометрических фигур – ключ к решению любых задач по планиметрии” (Юзбашев А.В.),
📖 “Новые встречи с геометрией” (Коксетер Г.С.М., Грейтцер С.),
📖 “Геометрия на баррикадах. Поиск и вдохновение” (Кушнир И.А.),
📖 “Элементы геометрии треугольника” (Мякишев А.Г.),
📖 “Геометрические миниатюры” (Скопец З.А.),
📖 “Геометрия треугольника в задачах” (Е.Д.Куланин, С.Н.Федин)
И уже далее, в зависимости от ваших целей, можно углубиться в конкретные темы и проработать узкоспециализированную литературу:
- По геометрическим преобразованиям: “Геометрические преобразования“ (Заславский А.А.) и два тома “Геометрические преобразования. Том 1. Движения и преобразования подобия.” и “Том 2. Линейные и круговые преобразования” (И.М. Яглом).
- Из геометрических преобразований можно отдельно рассмотреть инверсию. В этом вам поможет брошюра “Инверсия“ (И. Д. Жижилкин).
- По комбинаторной геометрии есть книги “Теоремы и задачи комбинаторной геометрии” (Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц.) и “Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии” (Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М.).
- Также разные оценки и неравенства изучаются в книгах “Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум” (Шклярский Д.О, Ченцов Н.Н, Яглом И.М) и “Максимумы и минимумы в геометрии” (В. Ю. Протасов).
- Векторный и координатные методы решения задач можно изучить соответственно по книгам “Векторный метод решения задач” (Кушнир А.И.) и “Метод координат” (Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Кириллов А.А.).
- Барицентрические координаты и вообще геометрия масс рассмотрена в книге “Геометрия масс” (Балк М.Б., Болтянский В.Г.).
- Индукция для геометрических задач рассмотрена в отдельной книге “Индукция в геометрии” (Л. И. Головина, И. М. Яглом).
- С разного рода кривыми на плоскости можно ознакомиться по книге “Прямые и кривые” (Васильев Н. Б. и Гутенмахер В. Л.), а для кривых второго порядка есть книга “Геометрические свойства кривых второго порядка” (Акопян А. В., Заславский А. А.).
- И ещё одна специальная книга “Точки Брокара и изогональное сопряжение” (Прасолов В.В.)
Для отработки навыка решения сложных задач из разных тем есть два главных сборника:
- “Задачи по геометрии. Планиметрия” (Шарыгин И.Ф.)
- “Задачи по планиметрии” (В.В. Прасолов)
К ним есть рубрикатор, есть решения задач, но скорее эти книги нужны, чтобы нарабатывать навык решения задач, нежели изучать какие-то темы.
Ну и напоследок можно посмотреть книгу “Геометрия в картинках” (Акопян А. В.). Особенность её в том, что у задач нет условий, а только чертежи. Эдакая “Геометрия на готовых чертежах” для экспертного уровня. Можно решать оттуда задачи, а можно использовать как раскраску-антистресс в перерывах между неудачными попытками решения других сложных задач.