Чтобы изучать геометрию самостоятельно, с помощью курсов или репетитора необходимо осознать, на каком уровне понимания вы сейчас находитесь, где ваша зона ближайшего развития. И уже в зависимости от этого строить свою подготовку. Всего таких уровней можно выделить ровно четыре. На каждом используются разные стратегии и инструменты. О каждом уровне мы поговорим отдельно, ну а пока вкратце обсудим общие черты этих уровней.
0️⃣ Начнём с самого простого уровня. Его можно называть по-разному: “детский” уровень, нулевой уровень, базовый уровень. Школьники занимаются на нём неосознанно, когда даже нет отдельного предмета геометрии: изучают мир вокруг, наблюдают за разными предметами, собирают геометрические головоломки. Так, например, постепенно приходит осознание того, что круглое лучше катить, а квадратное носить (а не наоборот). В итоге чисто интуитивно ученики понимают, что такое симметрия, что такое параллельность, ещё не зная самих этих понятий. На этом уровне полезно играть в игры с разными фигурами, щупать разные предметы, смотреть на них с разных сторон. Вся основная база на этом уровне закладывается в начальной школе и в курсе наглядной геометрии в 5-6 классе.
1️⃣ Следующий уровень уже выходит за пределы простой наглядности. Это первый, или “школьный” уровень. Это уровень хорошего знания школьной геометрии. Здесь будет необходимо знание определений, свойств, признаков, а также умение решать задачи на простые доказательства и вычисления. Это та геометрия, которую планомерно проходят в школе. Хорошие оценки по геометрии в школе, а также сданный ОГЭ c решенными планиметрическими задачами первой части ЕГЭ показывают, что вы в целом освоили этот уровень. Однако, именно на нём большинство учеников и застревает. Вроде куб от шара могут отличить, а доказать свойства и признаки параллелограмма не могут. Работа на школьном уровне самая трудная из всех. Она же и самая важная. Именно здесь закладывается серьёзный геометрический фундамент и формируется последовательное логическое мышление.
2️⃣ Далее идёт второй “продвинутый” уровень. Он является прямым продолжением первого уровня, его расширением и углублением. Этот уровень специально придумали для поступающих в вузы (как раздел вузоматики). Решения задач становятся более объёмными, в них нужно много вычислять и аккуратно последовательно доказывать. При решении используются необычные приёмы, которые лишь вскользь упоминались на школьном уровне. Формально, вы остаётесь в рамках школьной программы, но всё-таки это уже другой уровень. Когда советуют какие-то книги по геометрии для поступления в вуз, то практически всегда это именно материалы для второго уровня. Ориентир для понимания сложности таких задач – это геометрические задачи из второй части ЕГЭ и задачи большинства перечневых олимпиад (бывшие вступительные экзамены в вузы).
3️⃣ Ну и последний, третий “экспертный” уровень, это уровень сильных математических классов и серьёзных олимпиад вроде заключительных этапов Всероссийской олимпиады и Международной олимпиады. Иногда и на экзаменах встречаются задачи подобного рода, например, в ДВИ по математике в МГУ. Также этот уровень для тех, кому просто очень интересна математика, школьная программа уже вдоль и поперёк изучена, и хочется чего-то более глубокого. Здесь огромное поле работы с постепенным переходом уже к высшей математике. Советы в этой области можно дать только в общих чертах и у каждого преподавателя свой подход к изучению тем и задач данного уровня. Часто это переходный шаг от элементарной геометрии к более серьезным её видам (аффинной, проективной, неевклидовой, дифференциальной, комбинаторной и пр.)
При изучении геометрии на всех четырёх уровнях есть несколько важных правил:
- “не переходить на следующий уровень без освоения предыдущего”. Т.е. бесполезно готовиться к планиметрической задаче из второй части ЕГЭ, если вы не усвоили чётко все правила и определения из первого уровня. Также вам сложно будет переключиться на какую-нибудь теорему Стюарта или на особенности барицентрических координат из экспертного уровня, если вы не набили руку на втором уровне подготовки.
- “переход к следующему уровню должен быть очень плавным“. Уровни довольно сильно отделены друг от друга и крайне важны материалы, которые постепенно подготовят вас к следующему уровню. Можно, конечно, обойтись и без такого перехода, но это работает для тех учеников, у которых хорошо прокачан навык учёбы, и то, далеко не всегда.
Понимание такой многоуровневой структуры элементарной геометрии поможет вам более эффективно потратить силы на подготовку к экзаменам и олимпиадам.