Всем привет! Сегодня речь пойдет о задаче с зимних тренировочных сборов для национальной команды на международную олимпиаду по математике. За год проведения я не поручусь, но точно в середине 90-х. Формат сборов был тогда такой: 4 олимпиады по 4 задачи в каждой. Задачу, о которой пойдет речь ниже, на тех сборах практически никто не решил, несмотря на то, что ее решение может понять любой школьник, знакомый с понятием касательной к окружности и описанными четырехугольниками. Сейчас эта задача традиционна предлагается в 8-9 классе при изучении темы "Описанные четырехугольники" и является нестареющей классикой.
Хорошо известна аналогичная задача для вписанных четырехугольников - она решается простым подсчетом углов, и кажется, что и эта задача должна решаться простым подсчетом отрезков, ведь описанность четырехугольников равносильна паре соотношений
BF+XD=BD+XF и CD+XE=CE+XD.
Однако не все так просто... Из этих двух соотношений вывести описанность четырехугольника AFXE не получается...
Оказывается, надо выйти за рамки обыденности и изобрести признаки описанности невыпуклых четырехугольников...
Решение исходной задачи теперь выглядит так.
Пользуясь свойствами описанных невыпуклых четырехугольников ABCX и ACBX заключаем, что AX + BC = CX + AB и AX + BC = BX + AC, откуда CX + AB = BX + AC и следовательно, невыпуклый четырехугольник ABXC тоже описан.